Survey of recent results of multi-compartments intra-host models of malaria and HIV

International audience We present the recent results obtained for the within-host models of malaria and HIV. We briefly recall the Anderson-May-Gupter model. We also recall the Van Den Driessche method of computation for the basic reproduction ratio R0 ; here, a very simple formula is given for a new class of models. The global analysis of these models can be founded in [1, 2, 3, 5]. The results we recall here are for a model of one strain of parasites and many classes of age, a general model of n strains of parasites and k classes of age, a S E1 E2 · · ·En I S model with one linear chain of compartments and finally a general S Ei1 Ei2 · · ·Ein I S model with k linear chains of compartments. When R0 <=1, the authors prove that there is a trivial equilibria calling disease free equilibrium (DFE) which is globally asymptotically stable (GAS) on the non-negative orthant , and when R0 > 1, they prove the existence of a unique endemic equilibrium in the non-negative orthant and give an explicit formula. They provided a weak condition for the global stability of endemic equilibrium Le travail que nous présentons ici est un résumé de quelques résultats récents obtenus dans [1, 2, 3, 5] concernant les modèles intra-hôtes multi-compartimentaux. Il s’agit d’une analyse mathématique et globale des modèles intra-hôtes de paludisme et de V.I.H . Mais avant de présenter ces résultats, nous rappelons d’abord la méthode de calcul développée par Van Den Driessche[71] concernant le taux de reproduction de base R0 car c’est cette méthode qu’utilisent les auteurs dans leur analyse. Ces modèles sont dits de Anderson-May-Gupter dont le modèle original est considéré comme précurseur. Une formule simple est donnée ici pour le calcul de R0 dans les modèles étudiés. Les résultats que nous rappelons ici sont obtenus pour un modèle du paludisme à un génotype de parasites et k classes d’âge, le modèle général à n génotypes de parasites et k classes d’âge, un modèle S E1 E2 · · ·En I S avec une chaîne linéaire de parasites et enfin le modèle général S Ei1 Ei2 · · ·Ein I S avec k chaîne linéaire de parasites. Lorsque R0 1, les auteurs montrent qu’il existe un point d’équilibre évident, le DFE (Disease Free Equilibrium) qui est GAS (globalement asymptotiquement stable) sur l’orthant positif. Lorsque R0 > 1, ils montrent l’existence d’un unique équilibre endémique dans l'orthant positif et moyennant une petite condition ils montrent que cet équilibre est globalement asymptotiquement stable.