Méthodes de simulation rapide en files d’attente pour la résolution de certains problèmes combinatoires de grande taille

La simulation rapide de Monte Carlo est appliquée pour résoudre deux problèmes combinatoires à grande dimension. Le premier concerne l’estimation du nombre de sous-espaces k-dimensionnels d’un poids arbitraire d’un espace vectoriel n-dimensionnel sur un corps de Galois contenant q éléments. Les limites supérieures et inférieures sont construites grâce à une analytico-statistique. Le second problème concerne l’évaluation des « bonnes » permutations. La méthode de simulation rapide est proposée.

Equivariant Giambelli formula for the symplectic Grassmannians — Pfaffian Sum Formula

International audience We prove an explicit closed formula, written as a sum of Pfaffians, which describes each equivariant Schubert class for the Grassmannian of isotropic subspaces in a symplectic vector space On démontre une formule close explicite, écrite comme une somme de Pfaffiens, qui décrit toute classe de Schubert équivariante pour la Grassmannienne des sous-espaces isotropes dans un espace vectoriel symplectique.

Generalized Polarization Modules (extended abstract)

International audience This work enrols the research line of M. Haiman on the Operator Theorem (the old operator conjecture). This theorem states that the smallest $\mathfrak{S}_n$-module closed under taking partial derivatives and closed under the action of polarization operators that contains the Vandermonde determinant is the space of diagonal harmonics polynomials. We start generalizing the context of this theorem to the context of polynomials in $\ell$ sets of $n$ variables $x_{ij}$ with $1\le i \le \ell$ and $1 \le j \le n$. Given a $\mathfrak{S}_n$-stable family of homogeneous polynomials in the variables $x_{ij}$ the smallest vector space closed under taking partial derivatives and closed under the action of polarization operators that contains $F$ is the polarization module generated by the family $F$. These polarization modules are all representation of the direct product $\mathfrak{S}_n \times GL_\ell(\mathbb{C})$. In order to study the decomposition into irreducible submodules, we compute the graded Frobenius characteristic of these modules. For several cases of $\mathfrak{S}_n$-stable families of homogeneous polynomials in n variables, for every $n \ge 1$, we show general formulas for this graded characteristic in a global manner, independent of the value of $\ell$. Ce travail s'inscrit dans la lignée de recherche des travaux de M. Haiman sur le théorème de l'opérateur (ex-conjecture de l'opérateur). Ce théorème affirme que le plus petit $\mathfrak{S}_n$-module clos par dérivation partielle et clos par l'action des opérateurs de polarisation qui contient le déterminant de Vandermonde est l'espace des polynômes harmoniques diagonaux. On commence par généraliser le contexte du théorème de l'opérateur au contexte de polynômes à ensembles de $n$ variables $x_{ij}$ avec $1\le i \le \ell$ et $1 \le j \le n$. Étant donnée une famille $\mathfrak{S}_n$-stable $F$ des polynômes homogènes en les variables $x_{ij}$, le plus petit espace vectoriel $\mathcal{M}_F$ clos par dérivation partielle et clos par léaction des opérateurs de polarisation contenant $F$ est le module de polarisation engendré par la famille $F$. Les modules $\mathcal{M}_F$ sont tous des représentations du produit direct $\mathfrak{S}_n \times GL_\ell(\mathbb{C})$. Dans le but d'étudier la décomposition en sous-modules irréductibles on calcule la caractéristique de Frobenius graduée de ces modules. Pour plusieurs cas de familles homogènes $\mathfrak{S}_n$-stables constituées des polynômes homogènes à $n$ variables, pour tout $n \ge 1$, on démontre des formules générales pour cette caractéristique graduée de façon globale, indépendante de la valeur de $\ell$.

Types et contragrédientes

RésuméSoit G un groupe réductif p-adique, et soit R un corps algébriquement clos. Soit π une représentation lisse de G dans un espace vectoriel V sur R. Fixons un sous-groupe ouvert et compact K de G et une représentation lisse irréductible ϱ de K dans un espace vectoriel W de dimension finie sur R. Sur l'espace HomK(W, V) agit l'algèbre d'entrelacement (G,K,W). Nous examinons la compatibilité de ces constructions avec le passage aux représentations contragrédientes Vv et Wv, et donnons en particulier des conditions sur W ou sur la caractéristique de R pour que le comportement soit semblable au cas des représentations complexes. Nous prenons un point de vue abstrait, n'utilisant que des propriétés générales de G. Nous terminons par une application á la théorie des types pour le groupe GLn et ses formes intérieures sur un corps local non archimédien.

Isotropical Linear Spaces and Valuated Delta-Matroids

International audience The spinor variety is cut out by the quadratic Wick relations among the principal Pfaffians of an $n \times n$ skew-symmetric matrix. Its points correspond to $n$-dimensional isotropic subspaces of a $2n$-dimensional vector space. In this paper we tropicalize this picture, and we develop a combinatorial theory of tropical Wick vectors and tropical linear spaces that are tropically isotropic. We characterize tropical Wick vectors in terms of subdivisions of Delta-matroid polytopes, and we examine to what extent the Wick relations form a tropical basis. Our theory generalizes several results for tropical linear spaces and valuated matroids to the class of Coxeter matroids of type $D$. La variété spinorielle est decoupée par les relations quadratiques de Wick parmi les Pfaffiens principaux d'une matrice antisymétrique $n \times n$. Ses points correspondent aux sous-espaces isotropes à $n$ dimensions d'un espace vectoriel de dimension $2n$. Dans cet article nous tropicalisons cette description, et nous développons une théorie combinatoire de vecteurs tropicaux de Wick et d'espaces linéaires tropicaux qui sont tropicalement isotropes. Nous caractérisons des vecteurs tropicaux de Wick en termes de subdivisions des polytopes Delta-matroïde, et nous étudions dans quelle mesure les relations de Wick forment une base tropicale. Notre théorie généralise plusieurs résultats pour les espaces linéaires tropicaux et évaluait des matroïdes à la classe des matroïdes de Coxeter du type $D$.

Words and Noncommutative Invariants of the Hyperoctahedral Group

International audience Let $\mathcal{B}_n$ be the hyperoctahedral group acting on a complex vector space $\mathcal{V}$. We present a combinatorial method to decompose the tensor algebra $T(\mathcal{V})$ on $\mathcal{V}$ into simple modules via certain words in a particular Cayley graph of $\mathcal{B}_n$. We then give combinatorial interpretations for the graded dimension and the number of free generators of the subalgebra $T(\mathcal{V})^{\mathcal{B}_n}$ of invariants of $\mathcal{B}_n$, in terms of these words, and make explicit the case of the signed permutation module. To this end, we require a morphism from the Mantaci-Reutenauer algebra onto the algebra of characters due to Bonnafé and Hohlweg. Soit $\mathcal{B}_n$ le groupe hyperoctaédral agissant sur un espace vectoriel complexe $\mathcal{V}$. Nous présentons une méthode combinatoire donnant la décomposition de l'algèbre $T(\mathcal{V})$ des tenseurs sur $\mathcal{V}$ en modules simples via certains mots dans un graphe de Cayley donné. Nous donnons ensuite des interprétations combinatoires pour la dimension graduée et le nombre de générateurs libres de la sous-algèbre $T(\mathcal{V})^{\mathcal{B}_n}$ des invariants de $\mathcal{B}_n$, en termes de ces mots, et explicitons le cas du module de permutation signé. À cette fin, nous utilisons un morphisme entre l'algèbre de Mantaci-Reutenauer et l'algèbre des caractères introduit par Bonnafé et Hohlweg.

Words and polynomial invariants of finite groups in non-commutative variables

International audience Let $V$ be a complex vector space with basis $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ and $G$ be a finite subgroup of $GL(V)$. The tensor algebra $T(V)$ over the complex is isomorphic to the polynomials in the non-commutative variables $x_1, x_2, \ldots, x_n$ with complex coefficients. We want to give a combinatorial interpretation for the decomposition of $T(V)$ into simple $G$-modules. In particular, we want to study the graded space of invariants in $T(V)$ with respect to the action of $G$. We give a general method for decomposing the space $T(V)$ into simple $G$-module in terms of words in a particular Cayley graph of $G$. To apply the method to a particular group, we require a surjective homomorphism from a subalgebra of the group algebra into the character algebra. In the case of the symmetric group, we give an example of this homomorphism from the descent algebra. When $G$ is the dihedral group, we have a realization of the character algebra as a subalgebra of the group algebra. In those two cases, we have an interpretation for the graded dimensions of the invariant space in term of those words. Soit V un espace vectoriel complexe de base $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ et $G$ un sous-groupe fini de $GL(V)$. L'algèbre $T(V)$ des tenseurs de $V$ sur les complexes est isomorphe aux polynômes à coefficients complexes en variables non-commutatives $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Nous voulons donner une décomposition de $T(V)$ en $G$-modules simples de manière combinatoire. Plus particulièrement, nous étudions l'espace gradué des invariants de $T(V)$ sous l'action de $G$. Nous présentons une méthode générale donnant la décomposition de $T(V)$ en modules simples via certains mots dans un graphe de Cayley donné. Pour appliquer la méthode à un groupe particulier, nous avons besoin d'un homomorphisme surjectif entre une sous-algèbre de l'algèbre de groupe et l'algèbre des caractères. Pour le cas du groupe symétrique, nous donnons un exemple de cet homomorphisme qui provient de la théorie de l'algèbre des descentes. Pour le groupe diédral, nous avons une réalisation de l'algèbre des caractères comme une sous-algèbre de l'algèbre de groupe. Dans ces deux cas, nous avons une interprétation des dimensions graduées de l'espace des invariants en terme de ces mots.

Algèbres de Lie d'homotopie associées à une proto-bigèbre de Lie

RésuméOn associe à toute structure de proto-bigèbre de Lie sur un espace vectoriel F de dimension finie des structures d’algèbre de Lie d’homotopie définies respectivement sur la suspension de l’algèbre extérieure de F et celle de son dual F*. Dans ces algèbres, tous les crochets n-aires sont nuls pour n ≥ 4 du fait qu’ils proviennent d’une structure de proto-bigèbre de Lie. Plus généralement, on associe à un élément de degré impair de l’algèbre extérieure de la somme directe de F et F*, une collection d’applications multilinéaires antisymétriques sur l’algèbre extérieure de F (resp. F*), qui vérifient les identités de Jacobi généralisées, définissant les algèbres de Lie d’homotopie, si l’élément donné est de carré nul pour le grand crochet de l’algèbre extérieure de la somme directe de F et de F*.