scholarly journals On $\gamma$-vectors satisfying the Kruskal-Katona inequalities

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
E. Nevo ◽  
T. K. Petersen
Keyword(s):  
Simplicial Complexes ◽  
Homology Sphere ◽  
Gamma Delta ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We present examples of flag homology spheres whose $\gamma$-vectors satisfy the Kruskal-Katona inequalities. This includes several families of well-studied simplicial complexes, including Coxeter complexes and the simplicial complexes dual to the associahedron and to the cyclohedron. In these cases, we construct explicit flag simplicial complexes whose $f$-vectors are the $\gamma$-vectors in question, and so a result of Frohmader shows that the $\gamma$-vectors satisfy not only the Kruskal-Katona inequalities but also the stronger Frankl-Füredi-Kalai inequalities. In another direction, we show that if a flag $(d-1)$-sphere has at most $2d+3$ vertices its $\gamma$-vector satisfies the Frankl-Füredi-Kalai inequalities. We conjecture that if $\Delta$ is a flag homology sphere then $\gamma (\Delta)$ satisfies the Kruskal-Katona, and further, the Frankl-Füredi-Kalai inequalities. This conjecture is a significant refinement of Gal's conjecture, which asserts that such $\gamma$-vectors are nonnegative. Nous présentons des exemples de sphères d'homologie flag dont $\gamma$-vecteurs satisfaire les inégalités de Kruskal-Katona. Cela comprend plusieurs familles de bien étudiés simplicial complexes, y compris les complexes de Coxeter et les complexes simpliciaux dual de l'associahedron et à la cyclohedron. Dans ces cas, nous construisons explicite flag simplicial complexes dont les $f$-vecteurs sont les $\gamma$-vecteurs en question, et ainsi de suite de Frohmader montre que le $\gamma$-vecteurs de satisfaire non seulement les inégalités de Kruskal-Katona mais aussi les plus fortes inégalités Frankl-Füredi-Kalai. Dans une autre direction, nous montrons que, si un flag $(d-1)$-sphère a au plus $2d+3$ sommets son $\gamma$-vecteur satisfait aux inégalités de Frankl-Füredi-Kalai. Nous conjecture que, si $\Delta$ est une sphère d'homologie flag alors $\gamma(\Delta)$ satisfait aux inégalités de Kruskal-Katona, en outre, celles de Frankl-Füredi-Kalai. Cette conjecture est un raffinement significatif de la conjecture de Gal, qui affirme que ces $\gamma$-vecteurs sont nonnégatifs.

scholarly journals Critical Groups of Simplicial Complexes

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Art M. Duval ◽  
Caroline J. Klivans ◽  
Jeremy L. Martin
Keyword(s):  
Simplicial Complex ◽  
Spanning Trees ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Chow Groups ◽  
Critical Group ◽  
Critical Groups ◽  
Combinatorial Laplacian ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Laplacian Operators

International audience We generalize the theory of critical groups from graphs to simplicial complexes. Specifically, given a simplicial complex, we define a family of abelian groups in terms of combinatorial Laplacian operators, generalizing the construction of the critical group of a graph. We show how to realize these critical groups explicitly as cokernels of reduced Laplacians, and prove that they are finite, with orders given by weighted enumerators of simplicial spanning trees. We describe how the critical groups of a complex represent flow along its faces, and sketch another potential interpretation as analogues of Chow groups. Nous généralisons la théorie des groupes critiques des graphes aux complexes simpliciaux. Plus précisément, pour un complexe simplicial, nous définissons une famille de groupes abéliens en termes d'opérateurs de Laplace combinatoires, qui généralise la construction du groupe critique d'un graphe. Nous montrons comment réaliser ces groupes critiques explicitement comme conoyaux des opérateurs de Laplace réduits combinatoires, et montrons qu'ils sont finis. Leurs ordres sont obtenus en comptant (avec des poids) des arbres simpliciaux couvrants. Nous décrivons comment les groupes critiques d'un complexe représentent le flux le long de ses faces, et esquissons une autre interprétation potentielle comme analogues des groupes de Chow.

scholarly journals Multi-cluster complexes

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Cesar Ceballos ◽  
Jean-Philippe Labbé ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Coxeter Groups ◽  
Type A ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Cluster Complex ◽  
Geometric Properties ◽  
Cluster Complexes ◽  
Combinatorial Description ◽  
Compatibility Relation ◽  
Positive Roots ◽  
International Audience

International audience We present a family of simplicial complexes called \emphmulti-cluster complexes. These complexes generalize the concept of cluster complexes, and extend the notion of multi-associahedra of types ${A}$ and ${B}$ to general finite Coxeter groups. We study combinatorial and geometric properties of these objects and, in particular, provide a simple combinatorial description of the compatibility relation among the set of almost positive roots in the cluster complex. Nous présentons une famille de complexes simpliciaux appelés \emphcomplexes des multi-amas. Ces complexes généralisent le concept de complexes des amas et étendent la notion de multi-associaèdre de type ${A}$ et ${B}$ aux groupes de Coxeter finis. Nous étudions des propriétés combinatoires et géométriques de ces objets et, en particulier nous fournissons une description combinatoire simple de la relation de compatibilité sur l'ensemble des racines presque positives du complexe des amas.

scholarly journals Macdonald polynomials at $t=q^k$

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Gabriel Luque
Keyword(s):  
Macdonald Polynomials ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We investigate the homogeneous symmetric Macdonald polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ for the specialization $t=q^k$. We show an identity relying the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ and $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. As a consequence, we describe an operator whose eigenvalues characterize the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous nous intéressons aux propriétés des polynômes de Macdonald symétriques $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ pour la spécialisation $t=q^k$. En particulier nous montrons une égalité reliant les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ et $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous en déduisons la description d'un opérateur dont les valeurs propres caractérisent les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$.

scholarly journals Affine descents and the Steinberg torus

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Kevin Dilks ◽  
T. Kyle Petersen ◽  
John R. Stembridge
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Generating Functions ◽  
Cell Complex ◽  
Premier Lieu ◽  
Coxeter Complex ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Translation Subgroup

International audience Let $W \ltimes L$ be an irreducible affine Weyl group with Coxeter complex $\Sigma$, where $W$ denotes the associated finite Weyl group and $L$ the translation subgroup. The Steinberg torus is the Boolean cell complex obtained by taking the quotient of $\Sigma$ by the lattice $L$. We show that the ordinary and flag $h$-polynomials of the Steinberg torus (with the empty face deleted) are generating functions over $W$ for a descent-like statistic first studied by Cellini. We also show that the ordinary $h$-polynomial has a nonnegative $\gamma$-vector, and hence, symmetric and unimodal coefficients. In the classical cases, we also provide expansions, identities, and generating functions for the $h$-polynomials of Steinberg tori. Nous considérons un groupe de Weyl affine irréductible $W \ltimes L$ avec complexe de Coxeter $\Sigma$, où $W$ désigne le groupe de Weyl fini associé et $L$ le sous-groupe des translations. Le tore de Steinberg est le complexe cellulaire Booléen obtenu comme le quotient de $\Sigma$ par $L$. Nous montrons que les $h$-polynômes, ordinaires et de drapeaux, du tore de Steinberg (sans la face vide) sont des fonctions génératrices sur $W$ pour une statistique de type descente, étudiée en premier lieu par Cellini. Nous montrons également qu'un $h$-polynôme ordinaire possède un $\gamma$-vecteur positif, et par conséquent, a des coefficients symétriques et unimodaux. Dans les cas classiques, nous donnons également des développements, des identités et des fonctions génératrices pour les $h$-polynômes des tores de Steinberg.

scholarly journals Appsgate, a Programmable Domestic Eco-system: Learning from "Living in it"

2018 ◽  
Vol Volume 7, Number 1 (Research articles) ◽  
Author(s):  
Joëlle Coutaz ◽  
James L. Crowley
Keyword(s):  
Real World ◽  
Real Life ◽  
End Users ◽  
Team Members ◽  
Mise En Œuvre ◽  
Person Perspective ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Living Labs ◽  
First Person Perspective

International audience We present an experience with the development and evaluation of AppsGate, an ecosystem for the home that can be programmed by end-users. We show the benefits from using the homes of the project team members as real-life living-labs. In particular, we discuss the first person perspective experience as an effective way to conduct longitudinal experiments in real world settings. We conclude that a programmable habitat is desirable provided that attention cost is minimized Cet article présente un retour d’expérience avec la mise en oeuvre et l’évaluation d’AppsGate, un écosystème domestique programmable par l’habitant. Nous montrons l’apport de l’utilisation des domiciles de membres du projet tout au long du processus de développement, et notamment l’intérêt de « vivre avec » comme technique d’expérimentation longitudinale

scholarly journals Combinatorial Hopf Algebras of Simplicial Complexes

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Carolina Benedetti ◽  
Joshua Hallam ◽  
John Machacek
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Hopf Algebras ◽  
Symmetric Functions ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Combinatorial Hopf Algebras ◽  
International Audience ◽  
Donnent Lieu

International audience We consider a Hopf algebra of simplicial complexes and provide a cancellation-free formula for its antipode. We then obtain a family of combinatorial Hopf algebras by defining a family of characters on this Hopf algebra. The characters of these Hopf algebras give rise to symmetric functions that encode information about colorings of simplicial complexes and their $f$-vectors. We also use characters to give a generalization of Stanley’s $(-1)$-color theorem. Nous considérons une algèbre de Hopf de complexes simpliciaux et fournissons une formule sans multiplicité pour son antipode. On obtient ensuite une famille d'algèbres de Hopf combinatoires en définissant une famille de caractères sur cette algèbre de Hopf. Les caractères de ces algèbres de Hopf donnent lieu à des fonctions symétriques qui encode de l’information sur les coloriages du complexe simplicial ainsi que son vecteur-$f$. Nousallons également utiliser des caractères pour donner une généralisation du théorème $(-1)$ de Stanley.

scholarly journals Mixed volumes of hypersimplices

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Gaku Liu
Keyword(s):  
Catalan Numbers ◽  
Binomial Coefficients ◽  
Type B ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Mixed Volumes ◽  
Eulerian Numbers ◽  
Eulerian Number ◽  
Nous Montrons ◽  
Set Of Permutations ◽  
International Audience

International audience In this extended abstract we consider mixed volumes of combinations of hypersimplices. These numbers, called mixed Eulerian numbers, were first considered by A. Postnikov and were shown to satisfy many properties related to Eulerian numbers, Catalan numbers, binomial coefficients, etc. We give a general combinatorial interpretation for mixed Eulerian numbers and prove the above properties combinatorially. In particular, we show that each mixed Eulerian number enumerates a certain set of permutations in $S_n$. We also prove several new properties of mixed Eulerian numbers using our methods. Finally, we consider a type $B$ analogue of mixed Eulerian numbers and give an analogous combinatorial interpretation for these numbers. Dans ce résumé étendu nous considérons les volumes mixtes de combinaisons d’hyper-simplexes. Ces nombres, appelés les nombres Eulériens mixtes, ont été pour la première fois étudiés par A. Postnikov, et il a été montré qu’ils satisfont à de nombreuses propriétés reliées aux nombres Eulériens, au nombres de Catalan, aux coefficients binomiaux, etc. Nous donnons une interprétation combinatoire générale des nombres Eulériens mixtes, et nous prouvons combinatoirement les propriétés mentionnées ci-dessus. En particulier, nous montrons que chaque nombre Eulérien mixte compte les éléments d’un certain sous-ensemble de l’ensemble des permutations $S_n$. Nous établissons également plusieurs nouvelles propriétés des nombres Eulériens mixtes grâce à notre méthode. Pour finir, nous introduisons une généralisation en type $B$ des nombres Eulériens mixtes, et nous en donnons une interprétation combinatoire analogue.

scholarly journals Bridge Graphs and Deodhar Parametrizations for Positroid Varieties

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Rachel Karpman
Keyword(s):  
Particle Physics ◽  
Dense Subset ◽  
Regular Map ◽  
Nous Montrons ◽  
Planar Network ◽  
International Audience ◽  
Nous Appellerons ◽  
Combinatorial Constructions ◽  
Obtient Alors ◽  
The Relationship

International audience A <i>parametrization</i> of a positroid variety $\Pi$ of dimension $d$ is a regular map $(\mathbb{C}^{\times})^{d} \rightarrow \Pi$ which is birational onto a dense subset of $\Pi$. There are several remarkable combinatorial constructions which yield parametrizations of positroid varieties. We investigate the relationship between two families of such parametrizations, and prove they are essentially the same. Our first family is defined in terms of Postnikov’s <i>boundary measurement map</i>, and the domain of each parametrization is the space of edge weights of a planar network. We focus on a special class of planar networks called <i>bridge graphs</i>, which have applications to particle physics. Our second family arises from Marsh and Rietsch’s parametrizations of Deodhar components of the flag variety, which are indexed by certain subexpressions of reduced words. Projecting to the Grassmannian gives a family of parametrizations for each positroid variety. We show that each Deodhar parametrization for a positroid variety corresponds to a bridge graph, while each parametrization from a bridge graph agrees with some projected Deodhar parametrization. Soit $\Pi$ une variété positroïde. Nous appellerons <i>paramétrisation</i> toute application régulière $(\mathbb{C}^{\times})^{d} \rightarrow \Pi$ qui est un isomorphisme birégulier sur un sous-ensemble dense de $\Pi$. On sait que plusieurs constructions combinatoires donnent des paramétrisations intéressantes. Le but du présent article est d’investiguer deux familles de telles paramétrisations et de montrer, essentiellement, qu’elles coïncident. La première famille trouve son origine dans la <i>fonction de mesure des bords</i> de Postnikov. Le domaine de chaque paramétrisation est en ce cas-ci l’ensemble de poids des arêtes d’un réseau planaire pondéré. Nous nous concentrons sur une classe particulière de réseaux planaires, les <i>graphes de ponts</i>, ayant des applications à la physique subatomique. La deuxième famille provient des paramétrisations de Marsh et de Rietsch des composantes de Deodhar (indexées par certaines sous-expressions de mots réduits de permutations) de la variété de drapeaux. On obtient alors des paramétrisations de cellules de positroïdes en appliquant la projection à la grassmannienne. Nous montrons que chaque paramétrisation de Deodhar correspond à un graphe de ponts; d’autre part, chaque paramétrisation provenant d’un graphe de ponts s’accorde avec quelque paramétrisation de Deodhar.

scholarly journals Word equations in a uniquely divisible group

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Christopher J. Hillar ◽  
Lionel Levine ◽  
Darren Rhea
Keyword(s):  
Positive Integer ◽  
Complete Classification ◽  
Irreducible Factor ◽  
Nous Obtenons ◽  
Nous Pensons ◽  
Word Equation ◽  
Nous Montrons ◽  
Finite Word ◽  
Word Equations ◽  
International Audience

International audience We study equations in groups $G$ with unique $m$-th roots for each positive integer $m$. A word equation in two letters is an expression of the form$ w(X,A) = B$, where $w$ is a finite word in the alphabet ${X,A}$. We think of $A,B ∈G$ as fixed coefficients, and $X ∈G$ as the unknown. Certain word equations, such as $XAXAX=B$, have solutions in terms of radicals: $X = A^-1/2(A^1/2BA^1/2)^1/3A^-1/2$, while others such as $X^2 A X = B$ do not. We obtain the first known infinite families of word equations not solvable by radicals, and conjecture a complete classification. To a word w we associate a polynomial $P_w ∈ℤ[x,y]$ in two commuting variables, which factors whenever $w$ is a composition of smaller words. We prove that if $P_w(x^2,y^2)$ has an absolutely irreducible factor in $ℤ[x,y]$, then the equation $w(X,A)=B$ is not solvable in terms of radicals. Nous étudions des équations dans les groupes $G$ avec les $m$-th racines uniques pour chaque nombre entier positif m. Une équation de mot dans deux lettres est une expression de la forme $w(X, A) = B$, où $w$ est un mot fini dans l'alphabet ${X, A}$. Nous pensons $A, B ∈G$ en tant que coefficients fixes, et $X ∈G$ en tant que inconnu. Certaines équations de mot, telles que $XAXAX=B$, ont des solutions en termes de radicaux: $X = A^-1/2(A^1/2BA^1/2)^1/3A^-1/2$, alors que d'autres tel que $X^2 A X = B$ ne font pas. Nous obtenons les familles infinies d'abord connues des équations de mot non solubles par des radicaux, et conjecturons une classification complété. Á un mot $w$ nous associons un polynôme $P_w ∈ℤ[x, y]$ dans deux variables de permutation, qui factorise toutes les fois que $w$ est une composition de plus petits mots. Nous montrons que si $P_w(x^2, y^2)$ a un facteur absolument irréductible dans $ℤ[x, y]$, alors l'équation $w(X, A)=B$ n'est pas soluble en termes de radicaux.

scholarly journals Enumerating (2+2)-free posets by the number of minimal elements and other statistics

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sergey Kitaev ◽  
Jeffrey Remmel
Keyword(s):  
Generating Function ◽  
Minimal Elements ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Ascent Sequences ◽  
Special Case

International audience A poset is said to be (2+2)-free if it does not contain an induced subposet that is isomorphic to 2+2, the union of two disjoint 2-element chains. In a recent paper, Bousquet-Mélou et al. found, using so called ascent sequences, the generating function for the number of (2+2)-free posets: $P(t)=∑_n≥ 0 ∏_i=1^n ( 1-(1-t)^i)$. We extend this result by finding the generating function for (2+2)-free posets when four statistics are taken into account, one of which is the number of minimal elements in a poset. We also show that in a special case when only minimal elements are of interest, our rather involved generating function can be rewritten in the form $P(t,z)=∑_n,k ≥0 p_n,k t^n z^k = 1+ ∑_n ≥0\frac{zt}{(1-zt)^n+1}∏_i=1^n (1-(1-t)^i)$ where $p_n,k$ equals the number of (2+2)-free posets of size $n$ with $k$ minimal elements. Un poset sera dit (2+2)-libre s'il ne contient aucun sous-poset isomorphe à 2+2, l'union disjointe de deux chaînes à deux éléments. Dans un article récent, Bousquet-Mélou et al. ont trouvé, à l'aide de "suites de montées'', la fonction génératrice des nombres de posets (2+2)-libres: c'est $P(t)=∑_n≥ 0 ∏_i=1^n ( 1-(1-t)^i)$. Nous étendons ce résultat en trouvant la fonction génératrice des posets (\textrm2+2)-libres rendant compte de quatre statistiques, dont le nombre d'éléments minimaux du poset. Nous montrons aussi que lorsqu'on ne s'intéresse qu'au nombre d'éléments minimaux, notre fonction génératrice assez compliquée peut être simplifiée en$P(t,z)=∑_n,k ≥0 p_n,k t^n z^k = 1+ ∑_n ≥0\frac{zt}{(1-zt)^n+1}∏_i=1^n (1-(1-t)^i)$, où $p_n,k$ est le nombre de posets (2+2)-libres de taille $n$ avec $k$ éléments minimaux.

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