scholarly journals Semi-pointed partition posets

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Bérénice Delcroix-Oger
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Short Description ◽  
Characteristic Polynomials ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We present here a family of posets which generalizes both partition and pointed partition posets. After a short description of these new posets, we show that they are Cohen-Macaulay, compute their Moebius numbers and their characteristic polynomials. The characteristic polynomials are obtained using a combinatorial interpretation of the incidence Hopf algebra associated to these posets. Nous introduisons ici une famille de posets qui généralise à la fois les poset de partitions et les posets de partitions pointées. Après une description rapide de ces nouveaux posets, nous montrons qu’ils sont Cohen-Macaulay et nous calculons leurs nombres de Moebius et leurs polynômes caractéristiques. Ces derniers sont obtenus grâce à une interprétation combinatoire de l’algèbre de Hopf d’incidence associée à ces posets.

scholarly journals Mixed volumes of hypersimplices

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Gaku Liu
Keyword(s):  
Catalan Numbers ◽  
Binomial Coefficients ◽  
Type B ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Mixed Volumes ◽  
Eulerian Numbers ◽  
Eulerian Number ◽  
Nous Montrons ◽  
Set Of Permutations ◽  
International Audience

International audience In this extended abstract we consider mixed volumes of combinations of hypersimplices. These numbers, called mixed Eulerian numbers, were first considered by A. Postnikov and were shown to satisfy many properties related to Eulerian numbers, Catalan numbers, binomial coefficients, etc. We give a general combinatorial interpretation for mixed Eulerian numbers and prove the above properties combinatorially. In particular, we show that each mixed Eulerian number enumerates a certain set of permutations in $S_n$. We also prove several new properties of mixed Eulerian numbers using our methods. Finally, we consider a type $B$ analogue of mixed Eulerian numbers and give an analogous combinatorial interpretation for these numbers. Dans ce résumé étendu nous considérons les volumes mixtes de combinaisons d’hyper-simplexes. Ces nombres, appelés les nombres Eulériens mixtes, ont été pour la première fois étudiés par A. Postnikov, et il a été montré qu’ils satisfont à de nombreuses propriétés reliées aux nombres Eulériens, au nombres de Catalan, aux coefficients binomiaux, etc. Nous donnons une interprétation combinatoire générale des nombres Eulériens mixtes, et nous prouvons combinatoirement les propriétés mentionnées ci-dessus. En particulier, nous montrons que chaque nombre Eulérien mixte compte les éléments d’un certain sous-ensemble de l’ensemble des permutations $S_n$. Nous établissons également plusieurs nouvelles propriétés des nombres Eulériens mixtes grâce à notre méthode. Pour finir, nous introduisons une généralisation en type $B$ des nombres Eulériens mixtes, et nous en donnons une interprétation combinatoire analogue.

scholarly journals The down operator and expansions of near rectangular k-Schur functions

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Chris Berg ◽  
Franco Saliola ◽  
Luis Serrano
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Schur Functions ◽  
Nous Obtenons ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We prove that the Lam-Shimozono ``down operator'' on the affine Weyl group induces a derivation of the affine Fomin-Stanley subalgebra of the affine nilCoxeter algebra. We use this to verify a conjecture of Berg, Bergeron, Pon and Zabrocki describing the expansion of k-Schur functions of ``near rectangles'' in the affine nilCoxeter algebra. Consequently, we obtain a combinatorial interpretation of the corresponding k-Littlewood–Richardson coefficients. Nous montrons que l’opérateur ``down'', défini par Lam et Shimozono sur le groupe de Weyl affine, induit une dérivation de la sous-algèbre affine de Fomin-Stanley de l'algèbre affine de nilCoxeter. Nous employons cette dérivation pour vérifier une conjecture de Berg, Bergeron, Pon et Zabrocki sur l'expansion des k-fonctions de Schur indexées par les partitions qui sont ``presque rectangles''. Par conséquent, nous obtenons une interprétation combinatoire des k-coefficients de Littlewood–Richardson correspondants.

scholarly journals Supercharacters, symmetric functions in noncommuting variables (extended abstract)

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Marcelo Aguiar ◽  
Carlos André ◽  
Carolina Benedetti ◽  
Nantel Bergeron ◽  
Zhi Chen ◽  
...  
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Fourier Analysis ◽  
Finite Field ◽  
Hopf Algebras ◽  
Symmetric Functions ◽  
Combinatorial Hopf Algebras ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We identify two seemingly disparate structures: supercharacters, a useful way of doing Fourier analysis on the group of unipotent uppertriangular matrices with coefficients in a finite field, and the ring of symmetric functions in noncommuting variables. Each is a Hopf algebra and the two are isomorphic as such. This allows developments in each to be transferred. The identification suggests a rich class of examples for the emerging field of combinatorial Hopf algebras. Nous montrons que deux structures en apparence bien différentes peuvent être identifiées: les super-caractères, qui sont un outil commode pour faire de l'analyse de Fourier sur le groupe des matrices unipotentes triangulaires supérieures à coefficients dans un corps fini, et l'anneau des fonctions symétriques en variables non-commutatives. Ces deux structures sont des algèbres de Hopf isomorphes. Cette identification permet de traduire dans une structure les dévelopements conçus pour l'autre, et suggère de nombreux exemples dans le domaine nouveau des algèbres de Hopf combinatoires.

scholarly journals Cofree compositions of coalgebras

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Stefan Forcey ◽  
Aaron Lauve ◽  
Frank Sottile
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Category Theory ◽  
The Other ◽  
Nous Concluons ◽  
Nous Montrons ◽  
Higher Category Theory ◽  
International Audience ◽  
Graded Coalgebra

International audience We develop the notion of the composition of two coalgebras, which arises naturally in higher category theory and the theory of species. We prove that the composition of two cofree coalgebras is cofree and give conditions which imply that the composition is a one-sided Hopf algebra. These conditions hold when one coalgebra is a graded Hopf operad $\mathcal{D}$ and the other is a connected graded coalgebra with coalgebra map to $\mathcal{D}$. We conclude with examples of these structures, where the factor coalgebras have bases indexed by the vertices of multiplihedra, composihedra, and hypercubes. Nous développons la notion de composition de coalgèbres, qui apparaît naturellement dans la théorie des catégories d'ordre supérieur et dans la théorie des espèces. Nous montrons que la composée de deux coalgèbres colibres est colibre et nous donnons des conditions qui impliquent que la composée est une algèbre de Hopf unilatérale. Ces conditions sont valables quand l'une des coalgèbres est une opérade de Hopf graduée $\mathcal{D}$ et l'autre est une coalgèbre graduée connexe avec un morphisme vers $\mathcal{D}$. Nous concluons avec des exemples de ces structures, où les coalgèbres composées ont des bases indexées par les sommets de multiplièdres, de composièdres, et d'hypercubes.

scholarly journals Macdonald polynomials at $t=q^k$

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Gabriel Luque
Keyword(s):  
Macdonald Polynomials ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We investigate the homogeneous symmetric Macdonald polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ for the specialization $t=q^k$. We show an identity relying the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ and $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. As a consequence, we describe an operator whose eigenvalues characterize the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous nous intéressons aux propriétés des polynômes de Macdonald symétriques $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ pour la spécialisation $t=q^k$. En particulier nous montrons une égalité reliant les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ et $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous en déduisons la description d'un opérateur dont les valeurs propres caractérisent les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$.

scholarly journals A combinatorial non-commutative Hopf algebra of graphs

2014 ◽  
Vol Vol. 16 no. 1 (Combinatorics) ◽  
Author(s):  
Adrian Tanasa ◽  
Gerard Duchamp ◽  
Loïc Foissy ◽  
Nguyen Hoang-Nghia ◽  
Dominique Manchon
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Rooted Trees ◽  
Quantum Field ◽  
International Audience ◽  
The One ◽  
Planar Rooted Trees

Combinatorics International audience A non-commutative, planar, Hopf algebra of planar rooted trees was defined independently by one of the authors in Foissy (2002) and by R. Holtkamp in Holtkamp (2003). In this paper we propose such a non-commutative Hopf algebra for graphs. In order to define a non-commutative product we use a quantum field theoretical (QFT) idea, namely the one of introducing discrete scales on each edge of the graph (which, within the QFT framework, corresponds to energy scales of the associated propagators). Finally, we analyze the associated quadri-coalgebra and codendrifrom structures.

scholarly journals Affine descents and the Steinberg torus

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Kevin Dilks ◽  
T. Kyle Petersen ◽  
John R. Stembridge
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Generating Functions ◽  
Cell Complex ◽  
Premier Lieu ◽  
Coxeter Complex ◽  
Affine Weyl Group ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Translation Subgroup

International audience Let $W \ltimes L$ be an irreducible affine Weyl group with Coxeter complex $\Sigma$, where $W$ denotes the associated finite Weyl group and $L$ the translation subgroup. The Steinberg torus is the Boolean cell complex obtained by taking the quotient of $\Sigma$ by the lattice $L$. We show that the ordinary and flag $h$-polynomials of the Steinberg torus (with the empty face deleted) are generating functions over $W$ for a descent-like statistic first studied by Cellini. We also show that the ordinary $h$-polynomial has a nonnegative $\gamma$-vector, and hence, symmetric and unimodal coefficients. In the classical cases, we also provide expansions, identities, and generating functions for the $h$-polynomials of Steinberg tori. Nous considérons un groupe de Weyl affine irréductible $W \ltimes L$ avec complexe de Coxeter $\Sigma$, où $W$ désigne le groupe de Weyl fini associé et $L$ le sous-groupe des translations. Le tore de Steinberg est le complexe cellulaire Booléen obtenu comme le quotient de $\Sigma$ par $L$. Nous montrons que les $h$-polynômes, ordinaires et de drapeaux, du tore de Steinberg (sans la face vide) sont des fonctions génératrices sur $W$ pour une statistique de type descente, étudiée en premier lieu par Cellini. Nous montrons également qu'un $h$-polynôme ordinaire possède un $\gamma$-vecteur positif, et par conséquent, a des coefficients symétriques et unimodaux. Dans les cas classiques, nous donnons également des développements, des identités et des fonctions génératrices pour les $h$-polynômes des tores de Steinberg.

scholarly journals Appsgate, a Programmable Domestic Eco-system: Learning from "Living in it"

2018 ◽  
Vol Volume 7, Number 1 (Research articles) ◽  
Author(s):  
Joëlle Coutaz ◽  
James L. Crowley
Keyword(s):  
Real World ◽  
Real Life ◽  
End Users ◽  
Team Members ◽  
Mise En Œuvre ◽  
Person Perspective ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Living Labs ◽  
First Person Perspective

International audience We present an experience with the development and evaluation of AppsGate, an ecosystem for the home that can be programmed by end-users. We show the benefits from using the homes of the project team members as real-life living-labs. In particular, we discuss the first person perspective experience as an effective way to conduct longitudinal experiments in real world settings. We conclude that a programmable habitat is desirable provided that attention cost is minimized Cet article présente un retour d’expérience avec la mise en oeuvre et l’évaluation d’AppsGate, un écosystème domestique programmable par l’habitant. Nous montrons l’apport de l’utilisation des domiciles de membres du projet tout au long du processus de développement, et notamment l’intérêt de « vivre avec » comme technique d’expérimentation longitudinale

scholarly journals Combinatorial Hopf Algebras of Simplicial Complexes

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Carolina Benedetti ◽  
Joshua Hallam ◽  
John Machacek
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Hopf Algebras ◽  
Symmetric Functions ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Combinatorial Hopf Algebras ◽  
International Audience ◽  
Donnent Lieu

International audience We consider a Hopf algebra of simplicial complexes and provide a cancellation-free formula for its antipode. We then obtain a family of combinatorial Hopf algebras by defining a family of characters on this Hopf algebra. The characters of these Hopf algebras give rise to symmetric functions that encode information about colorings of simplicial complexes and their $f$-vectors. We also use characters to give a generalization of Stanley’s $(-1)$-color theorem. Nous considérons une algèbre de Hopf de complexes simpliciaux et fournissons une formule sans multiplicité pour son antipode. On obtient ensuite une famille d'algèbres de Hopf combinatoires en définissant une famille de caractères sur cette algèbre de Hopf. Les caractères de ces algèbres de Hopf donnent lieu à des fonctions symétriques qui encode de l’information sur les coloriages du complexe simplicial ainsi que son vecteur-$f$. Nousallons également utiliser des caractères pour donner une généralisation du théorème $(-1)$ de Stanley.

scholarly journals Bridge Graphs and Deodhar Parametrizations for Positroid Varieties

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Rachel Karpman
Keyword(s):  
Particle Physics ◽  
Dense Subset ◽  
Regular Map ◽  
Nous Montrons ◽  
Planar Network ◽  
International Audience ◽  
Nous Appellerons ◽  
Combinatorial Constructions ◽  
Obtient Alors ◽  
The Relationship

International audience A <i>parametrization</i> of a positroid variety $\Pi$ of dimension $d$ is a regular map $(\mathbb{C}^{\times})^{d} \rightarrow \Pi$ which is birational onto a dense subset of $\Pi$. There are several remarkable combinatorial constructions which yield parametrizations of positroid varieties. We investigate the relationship between two families of such parametrizations, and prove they are essentially the same. Our first family is defined in terms of Postnikov’s <i>boundary measurement map</i>, and the domain of each parametrization is the space of edge weights of a planar network. We focus on a special class of planar networks called <i>bridge graphs</i>, which have applications to particle physics. Our second family arises from Marsh and Rietsch’s parametrizations of Deodhar components of the flag variety, which are indexed by certain subexpressions of reduced words. Projecting to the Grassmannian gives a family of parametrizations for each positroid variety. We show that each Deodhar parametrization for a positroid variety corresponds to a bridge graph, while each parametrization from a bridge graph agrees with some projected Deodhar parametrization. Soit $\Pi$ une variété positroïde. Nous appellerons <i>paramétrisation</i> toute application régulière $(\mathbb{C}^{\times})^{d} \rightarrow \Pi$ qui est un isomorphisme birégulier sur un sous-ensemble dense de $\Pi$. On sait que plusieurs constructions combinatoires donnent des paramétrisations intéressantes. Le but du présent article est d’investiguer deux familles de telles paramétrisations et de montrer, essentiellement, qu’elles coïncident. La première famille trouve son origine dans la <i>fonction de mesure des bords</i> de Postnikov. Le domaine de chaque paramétrisation est en ce cas-ci l’ensemble de poids des arêtes d’un réseau planaire pondéré. Nous nous concentrons sur une classe particulière de réseaux planaires, les <i>graphes de ponts</i>, ayant des applications à la physique subatomique. La deuxième famille provient des paramétrisations de Marsh et de Rietsch des composantes de Deodhar (indexées par certaines sous-expressions de mots réduits de permutations) de la variété de drapeaux. On obtient alors des paramétrisations de cellules de positroïdes en appliquant la projection à la grassmannienne. Nous montrons que chaque paramétrisation de Deodhar correspond à un graphe de ponts; d’autre part, chaque paramétrisation provenant d’un graphe de ponts s’accorde avec quelque paramétrisation de Deodhar.

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