Построение точек Максвелла для левоинвариантных задач оптимального управления

Рассматриваются левоинвариантные задачи оптимального управления на связных группах Ли. Принцип максимума Понтрягина дает необходимое условие оптимальности. А именно, экстремальные траектории являются проекциями траекторий соответствующей гамильтоновой системы в кокасательном расслоении группы Ли. При исследовании экстремальных траекторий на оптимальность ключевую роль играют точки Максвелла (т.е. точки, в которые приходят различные экстремальные траектории). Дело в том, что экстремальная траектория не может быть оптимальной после точки Максвелла. В настоящей работе приводится общая конструкция точек Максвелла, зависящая от алгебраической структуры группы Ли.

Усиленное включение Эйлера-Лагранжа для одной задачи оптимального управления с разрывным интегрантом

Изучается задача оптимального управления для дифференциального включения со свободным временем и функционалом смешанного типа, содержащим в интегральном члене характеристическую функцию заданного открытого множества "нежелательных" состояний системы. Постановка данной задачи может рассматриваться как ослабление постановки классической задачи оптимального управления с фазовым ограничением. При помощи метода аппроксимаций получены необходимые условия оптимальности первого порядка в форме усиленного включения Эйлера-Лагранжа. Приведены достаточные условия их невырожденности и поточечной нетривиальности. Рассмотрен иллюстрирующий пример.

Накрывающие отображения, действующие в нормированные пространства, и точки совпадения

Исследуется вопрос о разрешимости уравнения, порожденного отображением, действующим из метрического пространства в нормированное пространство. В терминах накрывающих отображений получена оценка радиусов шаров, лежащих в образе отображения. Этот результат применен для получения условий существования точек совпадения двух отображений.

Алгебры Карно и субримановы структуры с вектором роста (2,$ $3,$ $5,$ $6)

Описаны все алгебры Карно с вектором роста $(2,3,5,6)$, их нормальные формы, различающий их инвариант и замена базиса, переводящая такую алгебру в нормальную форму. Для каждой нормальной формы вычислены функции Казимира и симплектические слоения на коалгебре Ли. Описаны инвариант и нормальные формы левоинвариантных $(2,3,5,6)$-распределений. Получена классификация всех левоинвариантных субримановых структур на $(2,3,5,6)$-группах Карно с точностью до изометрий, приведены их модели.

Теорема о неявной функции в окрестности анормальной точки

Исследуется существование неявной функции, заданной уравнением $G(x,\sigma )=0$, в окрестности анормальной точки $(x_0,\sigma _0)$. Доказано, что если некоторое $\lambda $-укорочение отображения $F(x) = G(x,\sigma _0)$ регулярно по некоторому направлению, то искомая неявная функция существует.

Оптимальный циклический сбор распределенного возобновляемого ресурса с диффузией

Оптимизируется сбор возобновляемого ресурса, распределенного на окружности. Динамика восстановления ресурса описывается уравнением типа Колмогорова-Петровского-Пискунова-Фишера в дивергентной форме, а сбор ресурса осуществляется движущейся циклически по окружности машиной, при этом в функционале качества учитываются положение этой машины, сложность обнаружения или сбора ресурса из этого положения, а также удаление ресурса от него. Доказано существование оптимального движения собирающей машины, доставляющего максимум средней временно́й выгоды в натуральном виде в долгосрочной перспективе при начальном распределении ресурса, не меньшем предельного при отсутствии сбора.

Слабое со звездой решение задачи динамической реконструкции

Рассматривается задача динамической реконструкции управлений для детерминированных управляемых аффинных систем. Реконструкция производится в реальном времени по известным дискретным неточным замерам наблюдаемой траектории системы, порождаемой неизвестным измеримым управлением со значениями из заданного компактного множества. Приводится корректная постановка задачи реконструкции в слабом со звездой смысле, и предлагается ее решение с помощью вариационного подхода, развиваемого авторами. Этот подход использует вспомогательные вариационные задачи с выпукло-вогнутым лагранжианом, регуляризированным по Тихонову. При этом решение задачи реконструкции сводится к интегрированию гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены условия согласования параметров аппроксимации (параметров точности и частоты замеров траектории, а также вспомогательного регуляризирующего параметра). Показано, что при выполнении этих условий реконструированные управления ограничены, а порождаемые ими траектории динамической системы равномерно сходятся к наблюдаемой траектории.

Теория управления, целочисленные матрицы и ортогональные полиномы

В теории управления и теории аппроксимации естественно возникают обратные матрицы к матрицам Грама для стандартного базиса из мономов в пространстве функций, интегрируемых с квадратом по некоторой мере. Например, такая матрица возникает в задаче построения управления по обратной связи, приводящего линейную систему в состояние равновесия, а также в задаче Гильберта о минимальной $L_2$-норме целочисленного многочлена. Для ряда примеров показано, что изучаемая обратная матрица целочисленная и делится на некоторое большое натуральное число. Метод основан на теоретико-числовом изучении естественно связанных с задачей ортогональных полиномов.

Реализация гомеоморфизмов поверхностей алгебраически конечного порядка диффеоморфизмами Морса-Смейла с ориентируемым гетероклиническим пересечением

Согласно классификации Тeрстона множество гомотопических классов гомеоморфизмов замкнутых ориентируемых поверхностей отрицательной кривизны разбивается на четыре непересекающихся подмножества $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$. Гомотопический класс из каждого подмножества характеризуется существованием в нем гомеоморфизма (канонической формы Тeрстона), имеющего в точности один из следующих типов соответственно: периодический гомеоморфизм, приводимый непериодический гомеоморфизм алгебраически конечного порядка, приводимый гомеоморфизм, не являющийся гомеоморфизмом алгебраически конечного порядка, псевдоаносовский гомеоморфизм. Канонические формы Тeрстона не являются структурно устойчивыми диффеоморфизмами. Поэтому естественно возникает задача построения простейших (в определенном смысле) структурно устойчивых диффеоморфизмов в каждом гомотопическом классе. А.Н. Безденежных и В.З. Гринес построили градиентно-подобный диффеоморфизм в каждом гомотопическом классе из $T_1$. А.Ю. Жиров и Р.В. Плыкин анонсировали метод построения структурно устойчивого диффеоморфизма в каждом гомотопическом классе из $T_4$. Неблуждающее множество этого диффеоморфизма состоит из конечного числа источниковых орбит и единственного одномерного аттрактора. В настоящей работе описано построение структурно устойчивого диффеоморфизма в каждом гомотопическом классе из $T_2$. Построенный представитель является диффеоморфизмом Морса-Смейла с ориентируемым гетероклиническим пересечением.

Алгоритм решения задачи оптимального управления структурированными популяциями, взаимодействующими на стационарном состоянии

Рассматривается задача оптимального управления с дифференциальной и интегральной связями. Начальное условие в рассматриваемой управляемой системе обыкновенных дифференциальных уравнений имеет нелокальный вид; оно определяется решением системы. Разрабатывается алгоритм поиска оптимального управления, максимизирующего функционал прибыли. Работа посвящена обоснованию элементов алгоритма, который позволяет свести решение исходной задачи к решению более простых задач оптимального управления, связь с которыми осуществляется через один из параметров модели. Доказана возможность и описан способ вычисления такого значения параметра, которое определяет решение исходной задачи. Предложенный подход позволяет эффективно решать оптимизационные задачи, возникающие в моделях управления структурированными популяциями, взаимодействующими на стационарном состоянии.