Extreme Points of Certain Transportation Polytopes with Fixed Total Sums

Transportation matrices are $m\times n$ nonnegative matrices with given row sum vector $R$ and column sum vector $S$. All such matrices form the convex polytope $\mathcal{U}(R,S)$ which is called a transportation polytope and its extreme points have been classified. In this article, we consider a new class of convex polytopes $\Delta(\bar{R},\bar{S},\sigma)$ consisting of certain transportation polytopes satisfying that the sum of all elements is $\sigma$, and the row and column sum vectors are dominated componentwise by the given positive vectors $\bar{R}$ and $\bar{S}$, respectively. We characterize the extreme points of $\Delta(\bar{R},\bar{S},\sigma)$. Moreover, we give the minimal term rank and maximal permanent of $\Delta(\bar{R},\bar{S},\sigma)$.

Perturbation of transportation polytopes

International audience We describe a perturbation method that can be used to compute the multivariate generating function (MGF) of a non-simple polyhedron, and then construct a perturbation that works for any transportation polytope. Applying this perturbation to the family of central transportation polytopes of order $kn \times n$, we obtain formulas for the MGF of the polytope. The formulas we obtain are enumerated by combinatorial objects. A special case of the formulas recovers the results on Birkhoff polytopes given by the author and De Loera and Yoshida. We also recover the formula for the number of maximum vertices of transportation polytopes of order $kn \times n$. Nous décrivons une méthode de perturbation qui peut être utilisée pour calculer la fonction génératrice multivariée (MGF) d'un polyèdre non-simple, et ensuite construire une perturbation qui fonctionne pour tout polytope de transport. Appliquant cette perturbation à la famille des centraux de transport polytopes de l'ordre $kn \times n$, nous obtenons des formules pour le MGF du polytope. Les formules que nous obtenons sont énumérées par les objets combinatoires. Un cas spécial des formules récupère les résultats sur des polytopes de Birkhoff donnés par l'auteur et De Loera et Yoshida. Nous récupérons également la formule pour le nombre de sommets maximum des de transport polytopes d'ordre $kn \times n$.