SHILLA GRAPHS WITH \(b=5\) AND \(b=6\)

A \(Q\)-polynomial Shilla graph with \(b = 5\) has intersection arrays \(\{105t,4(21t+1),16(t+1); 1,4 (t+1),84t\}\), \(t\in\{3,4,19\}\). The paper proves that distance-regular graphs with these intersection arrays do not exist. Moreover, feasible intersection arrays of \(Q\)-polynomial Shilla graphs with \(b = 6\) are found.

Distance-Regular Graphs with Intersection Arrays {7,6,6;1,1,2} and {42,30,2;1,10,36} Do not Exist

Пусть $\Gamma$ - дистанционно регулярный граф диаметра 3 без треугольников, $u$ - вершина графа $\Gamma$, $\Delta^i=\Gamma_i(u)$ и $\Sigma^i=\Delta^i_{2,3}$. Тогда $\Sigma^i$ - регулярный граф без 3-коклик степени $k'=k_i-a_i-1$ на $v'=k_i$ вершинах. Заметим, что для несмежных вершин $y,z\in \Sigma^i$ имеем $\Sigma^i=\{y,z\}\cup \Sigma^i(y)\cup \Sigma^i(z)$. Поэтому для $\mu'=|\Sigma^i(y)\cap \Sigma^i(z)|$ имеем равенство $v'=2k'+2-\mu'$. Отсюда граф $\Sigma$ является кореберно регулярным с параметрами $(v',k',\mu')$. В работе доказано, что дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$ не существует. В статье М. С. Нировой "On distance-regular graphs with $\theta_2=-1$" показано, что если существует сильно регулярный граф с параметрами $(176,49,12,14)$, в котором окрестности вершин являются $7\times 7$-решетками, то существует и дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$. М.~П. Голубятников заметил, что для дистанционно регулярного графа $\Gamma$ с массивом пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$ граф $\Gamma_2$ является дистанционно регулярным с массивом пересечений $\{42,30,2;1,10,36\}$. С помощью этого результата и вычисления тройных чисел пересечений доказано, что дистанционно регулярные графы с массивами пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$ и $\{42,30,2;1,10,36\}$ не существуют.

Thin Distance-Regular Graphs with Classical Parameters $(D,q,q, \frac{q^{t}-1}{q-1}-1)$ with $t> D$ are the Grassmann Graphs

In the survey paper by Van Dam, Koolen and Tanaka (2016), they asked to classify the thin $Q$-polynomial distance-regular graphs. In this paper, we show that a thin distance-regular graph with the same intersection numbers as a Grassmann graph $J_q(n, D)~ (n \geqslant 2D)$ is the Grassmann graph if $D$ is large enough.

Scaling Limits for the Gibbs States on Distance-Regular Graphs with Classical Parameters

We determine the possible scaling limits in the quantum central limit theorem with respect to the Gibbs state, for a growing distance-regular graph that has so-called classical parameters with base unequal to one. We also describe explicitly the corresponding weak limits of the normalized spectral distribution of the adjacency matrix. We demonstrate our results with the known infinite families of distance-regular graphs having classical parameters and with unbounded diameter.

Totally bipartite tridiagonal pairs

There is a concept in linear algebra called a tridiagonal pair. The concept was motivated by the theory of $Q$-polynomial distance-regular graphs. We give a tutorial introduction to tridiagonal pairs, working with a special case as a concrete example. The special case is called totally bipartite, or totally bipartite (TB). Starting from first principles, we give an elementary but comprehensive account of TB tridiagonal pairs. The following topics are discussed: (i) the notion of a TB tridiagonal system; (ii) the eigenvalue array; (iii) the standard basis and matrix representations; (iv) the intersection numbers; (v) the Askey--Wilson relations; (vi) a recurrence involving the eigenvalue array; (vii) the classification of TB tridiagonal systems; (viii) self-dual TB tridiagonal pairs and systems; (ix) the $\mathbb{Z}_3$-symmetric Askey--Wilson relations; (x) some automorphisms and antiautomorphisms associated with a TB tridiagonal pair; and (xi) an action of the modular group ${\rm PSL}_2(\mathbb{Z})$ associated with a TB tridiagonal pair.