$Star^1$-convex functions on tropical linear spaces of complete graphs

International audience Given a fan $\Delta$ and a cone $\sigma \in \Delta$ let $star^1(\sigma )$ be the set of cones that contain $\sigma$ and are one dimension bigger than $\sigma$ . In this paper we study two cones of piecewise linear functions defined on $\delta$ : the cone of functions which are convex on $star^1(σ\sigma)$ for all cones, and the cone of functions which are convex on $star^1(σ\sigma)$ for all cones of codimension 1. We give nice combinatorial descriptions for these two cones given two different fan structures on the tropical linear space of complete graphs. For the complete graph $K_5$, we prove that with the finer fan subdivision the two cones are not equal, but with the coarser subdivision they are the same. This gives a negative answer to a question of Gibney-Maclagan that for the finer subdivision the two cones are the same. Soit $\Delta$ un fan, pour $\sigma \in \Delta$ nous définissons $star^1(\sigma )$ comme l'ensemble de cônes qui contiennent $\sigma$ dont la dimension est un de plus que la dimension de $\sigma$ . Nous étudions deux cônes d'applications linéaires par morceaux définis sur $\Delta$ : le cône de fonctions convexes sur$star^1(\sigma )$, où $\sigma \in \Delta$ est un cône quelconque, et le cône de fonctions convexes sur $star^1(σ\sigma)$ où σ est un cône de codimension 1. étant donnés deux structures sur l'espace tropical linéaire de graphes complets, nous donnons de beaux descriptions combinatoires des cônes décrits en haut. Pour le graphe complet $K_5$, on démontre que avec la subdivision en fans plus fine, les deux cônes sont différentes, mais avec la subdivision plus gros ils sont cônes sont les mêmes. Ce résultant réponde négativement une question de Gibney-Maclagan.

Dissimilarity Vectors of Trees and Their Tropical Linear Spaces (Extended Abstract)

International audience We study the combinatorics of weighted trees from the point of view of tropical algebraic geometry and tropical linear spaces. The set of dissimilarity vectors of weighted trees is contained in the tropical Grassmannian, so we describe here the tropical linear space of a dissimilarity vector and its associated family of matroids. This gives a family of complete flags of tropical linear spaces, where each flag is described by a weighted tree. Nous étudions les propriétés combinatoires des arbres pondérés avec le formalisme de la géométrie tropicale et des espaces linéaires tropicaux. L'ensemble de vecteurs de dissimilarité des arbres pondérés est contenu dans la grassmannienne tropicale, donc nous décrivons ici l'espace linéaire tropical d'un vecteur de dissimilarité et sa famille de matroïdes associée. Cela permet d'obtenir une famille de drapeaux complets d'espaces linéaires tropicaux, où chaque drapeau est décrit par un arbre pondéré.