Simple necessary conditions for Hadamard factorizability of Hurwitz polynomials

In this paper, we focus the attention on the Hadamard factorization problem for Hurwitz polynomials. We give a new necessary condition for Hadamard factorizability of Hurwitz stable polynomials of degree $n\geq 4$ and show that for $n= 4$ this condition is also sufficient. The effectiveness of the result is illustrated during construction of examples of stable polynomials that are not Hadamard factorizable.

Spaces of Lorentzian and real stable polynomials are Euclidean balls

We prove that projective spaces of Lorentzian and real stable polynomials are homeomorphic to Euclidean balls. This solves a conjecture of June Huh and the author. The proof utilises and refines a connection between the symmetric exclusion process in interacting particle systems and the geometry of polynomials.

A short note on determinantal representation of stable polynomials

In this paper we provide some results that replace the condition ”real-zero” by the properties so-called x-substitution and y-substitution. We show that using these properties, we can still write the determinantal representation of a stable polynomial in terms of identity and Hermitian matrices.

On the Existence of Hurwitz Polynomials with no Hadamard Factorization

A Hurwitz stable polynomial of degree $n\geq1$ has a Hadamard factorization if it is a Hadamard product (i.e., element-wise multiplication) of two Hurwitz stable polynomials of degree $n$. It is known that Hurwitz stable polynomials of degrees less than four have a Hadamard factorization. It is shown that, for arbitrary $n\geq4$, there exists a Hurwitz stable polynomial of degree $n$ which does not have a Hadamard factorization.

Conversions of the convolution operation to the sum and the asymptotic behavior of the stable polynomials coefficients

Известны интегральные преобразования, для которых свертка в области оригиналов (функций скалярного действительного переменного) преобразуется в сумму изображений (функций скалярного действительного переменного). Эти преобразования задаются с точностью до линейного оператора. Рассмотрены свойства одного из подобных преобразований, для которого экспонента преобразуется в экспоненту: eго связь с преобразованием Лапласа, преобразования некоторых конкретных функций и операций дифференцирования, интегрирования, сдвига, изменения масштаба времени, умножения на экспоненту и другие. Переход от плотности распределения случайной величины к ее кумулянтам называют кумулянтным преобразованием, по аналогии все преобразования, переводящие свертку оригиналов в сумму отображений названы кумулянтными. Показано, что формулы Ньютона, реализующие связь сумм одинаковых степеней корней полинома с его коэффициентами, являются кумулянтным преобразованием, так же как переход от функции действительного переменного к фазе или логарифму модуля ее преобразования по Фурье. Обсуждаются возможности использования таких преобразований. Получены условия, при выполнении которых последовательность коэффициентов устойчивого полинома, являющаяся сверткой устойчивых полиномов первой и второй степени, с ростом числа этих полиномов асимптотически нормальна.