A note on bi-contractive projections on spaces of vector valued continuous functions

This paper concerns the analysis of the structure of bi-contractive projections on spaces of vector valued continuous functions and presents results that extend the characterization of bi-contractive projections given by the first author. It also includes a partial generalization of these results to affine and vector valued continuous functions from a Choquet simplex into a Hilbert space.

Contractive Projections in Variable Lebesgue Spaces

В работе приведено описание структуры положительных сжимающих проекторов в пространствах Лебега $L_{p(\cdot)}$ с $\sigma$-конечной мерой и с существенно ограниченным переменным показателем $p(\cdot)$. Показано, что всякий положительный сжимающий проектор $P:L_{p(\cdot)}\rightarrow L_{p(\cdot)}$ допускает матричное представление, а ограничение $P$ на полосу, порожденную слабой порядковой единицей своего образа, представляет собой взвешенный оператор условного ожидания. Попутно получено описание образа $\mathcal{R}(P)$ положительного сжимающего проектора $P$. Отметим, что в случае конечной меры при постоянном показателе существование слабой порядковой единицы в $\mathcal{R}(P)$ очевидно. В нашем же случае наличие слабой порядковой единицы в $\mathcal{R}(P)$ требует доказательства и мы строим ее конструктивно. Слабая порядковая единица в образе положительного сжимающего проектора играет ключевую роль в его представлении.