Forest of Stochastic Trees: A Method for Valuing Multiple Exercise Options

We present the Forest of Stochastic Trees (FOST) method for pricing multiple exercise options by simulation. The proposed method uses stochastic trees in place of binomial trees in the Forest of Trees algorithm originally proposed to value swing options, hence extending that method to allow for a multi-dimensional underlying process. The FOST can also be viewed as extending the stochastic tree method for valuing (single exercise) American-style options to multiple exercise options. The proposed valuation method results in positively- and negatively-biased estimators for the true option value. We prove the sign of the estimator bias and show that these estimators are consistent for the true option value. This method is of particular use in cases where there is potentially a large number of assets underlying the contract and/or the underlying price process depends on multiple risk factors. Numerical results are presented to illustrate the method.

Memory Bounded Open-Loop Planning in Large POMDPs Using Thompson Sampling

State-of-the-art approaches to partially observable planning like POMCP are based on stochastic tree search. While these approaches are computationally efficient, they may still construct search trees of considerable size, which could limit the performance due to restricted memory resources. In this paper, we propose Partially Observable Stacked Thompson Sampling (POSTS), a memory bounded approach to openloop planning in large POMDPs, which optimizes a fixed size stack of Thompson Sampling bandits. We empirically evaluate POSTS in four large benchmark problems and compare its performance with different tree-based approaches. We show that POSTS achieves competitive performance compared to tree-based open-loop planning and offers a performancememory tradeoff, making it suitable for partially observable planning with highly restricted computational and memory resources.

Wycena górniczego projektu inwestycyjnego z elastycznością - podejście ‘MAD’ vs. model konsekutywnego drzewa stochastycznego / Valuation of Mineral Project with Flexibility – ‘Mad’ Approach vs. Consecutive Stochastic Tree

Streszczenie Analiza opcji rzeczowych stanowi od lat atrakcyjną alternatywę dla podstawowej metodyki oceny efektywności ekonomicznej i wyceny aktywów rzeczowych - analizy zdyskontowanych przepływów pieniężnych DCF. Wśród zasadniczych przyczyn wzrastającego zainteresowania tą metodyką w prze­myśle - w tym w szczególności wydobywczym - jest jej potencjał w zakresie wyceny elastyczności decyzyjnej, związanej z istniejącymi faktycznie możliwościami odkładania przedsięwzięć w czasie oraz modyfikacji zakładanych pierwotnie strategii operacyjnych; takie podejście umożliwia uzys­kiwanie wartości fundamentalnej na poziomie zbliżonym do rynkowego. Fundament teorii opcji stanowi stochastyczne modelowanie zmian aktywów podstawowych tych instmmentów w czasie. Aktualnie preferowana praktyczna metodyka wyceny przedsięwzięć z elastycznością (nazywana podejściem MAD) zakłada, że walor bazowy opcji rzeczowych-wartość bieżąca brutto projektu PV - rozwija się w czasie zgodnie z iloczynowym procesem stochastycznym, stanowiącym dwumianową aproksymację geometrycznego ruchu Browna (GBM). Ponadto przyjmuje się, że instrumentem bliźniaczym aktywów podstawowych, którego istnienie jest niezbędnym warunkiem poprawnej wy­ceny opcji, jest szacowana w analizie DCF wartość zaktualizowana netto - NPV. Niniejszy artykuł dostarcza empiryczne przesłanki, że modelowanie instrumentu PV według standardowego procesu stochastycznego nie odpowiada rzeczywistości. Argumentacja przedstawiona została na przykładzie wyceny górniczego projektu inwestycyjnego z opcją czekania - metodyka obejmowała iloczynowe modelowanie ceny (walor referencyjny), a następnie budowę konsekutywnego drzewa wartości PV, kalkulowanych w wyniku adiustacji przepływów pieniężnych przedsięwzięcia instmmentem referen­cyjnym. Przy okazji zaakcentowano fakt, że walor czekania zmienia strukturę drzew przepływów i wartości bieżącej - w zależności od okresu życia tej opcji. W konkluzji dostarczono argumenty, że konsekutywne formowanie drzewa wartości bieżącej stanowi lepsze odzwierciedlenie świata realnego niż jej bezpośrednie modelowanie w podejściu MAD.