A well-conditioned and efficient implementation of dual reciprocity method for Poisson equation

<abstract><p>One of the attractive and practical techniques to transform the domain integrals to equivalent boundary integrals is the dual reciprocity method (DRM). The success of DRM relies on the proper treatment of the non-homogeneous term in the governing differential equation. For this purpose, radial basis functions (RBFs) interpolations are performed to approximate the non-homogeneous term accurately. Moreover, when the interpolation points are large, the global RBFs produced dense and ill-conditioned interpolation matrix, which poses severe stability and computational issues. Fortunately, there exist interpolation functions with local support known as compactly supported radial basis functions (CSRBFs). These functions produce a sparse and well-conditioned interpolation matrix, especially for large-scale problems. Therefore, this paper aims to apply DRM based on multiquadrics (MQ) RBFs and CSRBFs for evaluation of the Poisson equation, especially for large-scale problems. Furthermore, the convergence analysis of DRM with MQ and CSRBFs is performed, along with error estimate and stability analysis. Several experiments are performed to ensure the well-conditioned, efficient, and accurate behavior of the CSRBFs compared to the MQ-RBFs, especially for large-scale interpolation points.</p></abstract>

On the Analytical and Numerical Study of a Two-Dimensional Nonlinear Heat Equation with a Source Term

The paper deals with two-dimensional boundary-value problems for the degenerate nonlinear parabolic equation with a source term, which describes the process of heat conduction in the case of the power-law temperature dependence of the heat conductivity coefficient. We consider a heat wave propagation problem with a specified zero front in the case of two spatial variables. The solution existence and uniqueness theorem is proved in the class of analytic functions. The solution is constructed as a power series with coefficients to be calculated by a proposed constructive recurrent procedure. An algorithm based on the boundary element method using the dual reciprocity method is developed to solve the problem numerically. The efficiency of the application of the dual reciprocity method for various systems of radial basis functions is analyzed. An approach to constructing invariant solutions of the problem in the case of central symmetry is proposed. The constructed solutions are used to verify the developed numerical algorithm. The test calculations have shown the high efficiency of the algorithm.

Simulación de interacción fluido-estructura en la red vascular utilizando el método de elementos de frontera (BEM)

El principal objetivo de este trabajo fue desarrollar un modelo tridimensional, que permita el estudio de condiciones fluidodinámicas en un vaso sanguíneo, considerando el comportamiento pulsátil, mediante métodos numéricos de formulación integral y funciones de interpolación.La metodología utilizada fue acoplar a un programa de elementos de frontera existente en el grupo de investigación, la entrada de la función pulsante que representa el comportamiento sanguíneo, como la ecuación a solucionar es la ecuación de Navier Stokes, se realizó el acople del término convectivo utilizando el método de funciones de base radial y para el avance temporal se implementó el esquema de Dual reciprocity method. Para la pared arterial, se calcularon los esfuerzos, se solucionó la matriz de esfuerzo deformación y finalmente se soluciona el esquema de anillos de presión para cada iteración.En los resultados se desarrolló una geometría en el software GID con una relación de longitud a diámetro 4 a 1, se utilizó un número de Reynolds de 1061 y como condiciones de frontera se pusieron una condición de velocidad pulsante a la entrada y una condición de tracción a la salida.Los resultados mostraron el desarrollo del perfil parabólico y los desplazamientos de pared que obedecen a los reportados en literatura (10 %).La principal conclusión es que el uso de los métodos combinados, elementos de frontera y anillos de presión, sirven para simular la interacción entre los dos medios, respetando la homeóstasis del sistema biológico original. Además, se logró alcanzar un número de Reynolds de 1061.