Exploring field theories via the Conformal Bootstrap

Στην εργασία μελετώνται σύμμορφες θεωρίες πεδίου που ενδιαφέρουν λόγω φαινομενολογικών όπως και θεωρητικών ερωτημάτων. Η μελέτη των εν λόγω θεωριών γίνεται με χρήση συνθηκών αυτοσυνέπειας. Η μελέτη (σύμμορφων) θεωριών με χρήση συνθηκών αυτοσυνέπειας είναι γνωστή ως “the bootstrap”. Στην παρούσα εργασία θα κάνουμε χρήση του αριθμητικού bootstrap όπως αυτό εμφανίστηκε στην πρόσφατη αναβίωση του. Δηλαδή, θα επιβάλουμε την συμμετρία crossing και τις συνθήκες unitarity/reflection positivity σε συγκεκριμένες συναρτήσεις συσχέτισης (correlation functions), και ως αποτέλεσμα θα βρούμε περιορισμούς στον παραμετρικό χώρο. Ο παραμετρικός χώρος παραμετροποιείται με βάση της ποσότητες γνωστές ως scaling dimensions και OPE coefficients. Αυτές οι ποσότητες καθορίζουν διάφορα μετρήσιμα μεγέθη, όπως οι κρίσιμοι εκθέτες που παρατηρούνται σε κρίσιμα σημεία. Με την χρήση του αριθμητικού bootstrap θα παρέχουμε ισχυρούς περιορισμούς των επιτρεπόμενων τιμών που μπορούν να πάρουν συγκεκριμένοι κρίσιμοι εκθέτες. Σε κάποιες περιπτώσεις οι περιορισμοί θα είναι τόσο ισχυροί που στην ουσία αποτελούν υπολογισμό των εν λόγω ποσοτήτων. Με άλλα λόγια, μόνο μικρές απομονωμένες περιορισμένες περιοχές του παραμετρικού χώρου θα είναι συμβατές με τις συνθήκες αυτοσυνέπειας. Μερικά παραδείγματα θεωριών που θα μελετηθούν είναι οι θεωρίες με υπερ-κυβική, Ο(m) x O(n)/Z2 και “ΜΝ” συμμετρία. Θα βρούμε μικρές επιτρεπόμενες απομονωμένες περιοχές στον παραμετρικό χώρο αυτών των θεωριών. Επίσης, κατά την διάρκεια της μελέτης μας θα προσδιορίσουμε διάφορες τανυστικές δομές που είναι χρήσιμες πέραν του αριθμητικού bootstrap.

Phase transitions for a class of gradient fields

We consider gradient fields on $${\mathbb {Z}}^d$$ Z d for potentials V that can be expressed as $$\begin{aligned} e^{-V(x)}=pe^{-\frac{qx^2}{2}}+(1-p)e^{-\frac{x^2}{2}}. \end{aligned}$$ e - V ( x ) = p e - q x 2 2 + ( 1 - p ) e - x 2 2 . This representation allows us to associate a random conductance type model to the gradient fields with zero tilt. We investigate this random conductance model and prove correlation inequalities, duality properties, and uniqueness of the Gibbs measure in certain regimes. We then show that there is a close relation between Gibbs measures of the random conductance model and gradient Gibbs measures with zero tilt for the potential V. Based on these results we can give a new proof for the non-uniqueness of ergodic zero-tilt gradient Gibbs measures in dimension 2. In contrast to the first proof of this result we rely on planar duality and do not use reflection positivity. Moreover, we show uniqueness of ergodic zero tilt gradient Gibbs measures for almost all values of p and q and, in dimension $$d\ge 4$$ d ≥ 4 , for q close to one or for $$p(1-p)$$ p ( 1 - p ) sufficiently small.

Reflection positivity and complex analysis of the Yang–Mills theory from a viewpoint of gluon confinement

In order to understand the confining decoupling solution of the Yang–Mills theory in the Landau gauge, we consider the massive Yang–Mills model which is defined by just adding a gluon mass term to the Yang–Mills theory with the Lorentz-covariant gauge fixing term and the associated Faddeev–Popov ghost term. First of all, we show that massive Yang–Mills model is obtained as a gauge-fixed version of the gauge-invariantly extended theory which is identified with the gauge-scalar model with a single fixed-modulus scalar field in the fundamental representation of the gauge group. This equivalence is obtained through the gauge-independent description of the Brout–Englert–Higgs mechanism proposed recently by one of the authors. Then, we reconfirm that the Euclidean gluon and ghost propagators in the Landau gauge obtained by numerical simulations on the lattice are reproduced with good accuracy from the massive Yang–Mills model by taking into account one-loop quantum corrections. Moreover, we demonstrate in a numerical way that the Schwinger function calculated from the gluon propagator in the Euclidean region exhibits violation of the reflection positivity at the physical point of the parameters. In addition, we perform the analytic continuation of the gluon propagator from the Euclidean region to the complex momentum plane towards the Minkowski region. We give an analytical proof that the reflection positivity is violated for any choice of the parameters in the massive Yang–Mills model, due to the existence of a pair of complex conjugate poles and the negativity of the spectral function for the gluon propagator to one-loop order. The complex structure of the propagator enables us to explain why the gluon propagator in the Euclidean region is well described by the Gribov–Stingl form. We try to understand these results in light of the Fradkin–Shenker continuity between confinement-like and Higgs-like regions in a single confinement phase in the complementary gauge-scalar model.