scholarly journals Relaxations of the matroid axioms I: Independence, Exchange and Circuits

2020 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 28th... ◽  
Author(s):  
Jose ́ Alejandro Samper
Keyword(s):  
Simplicial Complexes ◽  
Matroid Theory ◽  
Tutte Polynomials ◽  
International Audience

International audience Motivated by a question of Duval and Reiner about higher Laplacians of simplicial complexes, we describe various relaxations of the defining axioms of matroid theory to obtain larger classes of simplicial complexes that contain pure shifted simplicial complexes. The resulting classes retain some of the matroid properties and allow us to classify matroid properties according to the relevant axioms needed to prove them. We illustrate this by discussing Tutte polynomials. Furthermore, we extend a conjecture of Stanley on h-vectors and provide evidence to show that the extension is better suited than matroids to study the conjecture.

scholarly journals Multi-cluster complexes

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Cesar Ceballos ◽  
Jean-Philippe Labbé ◽  
Christian Stump
Keyword(s):  
Coxeter Groups ◽  
Type A ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Cluster Complex ◽  
Geometric Properties ◽  
Cluster Complexes ◽  
Combinatorial Description ◽  
Compatibility Relation ◽  
Positive Roots ◽  
International Audience

International audience We present a family of simplicial complexes called \emphmulti-cluster complexes. These complexes generalize the concept of cluster complexes, and extend the notion of multi-associahedra of types ${A}$ and ${B}$ to general finite Coxeter groups. We study combinatorial and geometric properties of these objects and, in particular, provide a simple combinatorial description of the compatibility relation among the set of almost positive roots in the cluster complex. Nous présentons une famille de complexes simpliciaux appelés \emphcomplexes des multi-amas. Ces complexes généralisent le concept de complexes des amas et étendent la notion de multi-associaèdre de type ${A}$ et ${B}$ aux groupes de Coxeter finis. Nous étudions des propriétés combinatoires et géométriques de ces objets et, en particulier nous fournissons une description combinatoire simple de la relation de compatibilité sur l'ensemble des racines presque positives du complexe des amas.

scholarly journals Combinatorial Hopf Algebras of Simplicial Complexes

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Carolina Benedetti ◽  
Joshua Hallam ◽  
John Machacek
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Hopf Algebras ◽  
Symmetric Functions ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Combinatorial Hopf Algebras ◽  
International Audience ◽  
Donnent Lieu

International audience We consider a Hopf algebra of simplicial complexes and provide a cancellation-free formula for its antipode. We then obtain a family of combinatorial Hopf algebras by defining a family of characters on this Hopf algebra. The characters of these Hopf algebras give rise to symmetric functions that encode information about colorings of simplicial complexes and their $f$-vectors. We also use characters to give a generalization of Stanley’s $(-1)$-color theorem. Nous considérons une algèbre de Hopf de complexes simpliciaux et fournissons une formule sans multiplicité pour son antipode. On obtient ensuite une famille d'algèbres de Hopf combinatoires en définissant une famille de caractères sur cette algèbre de Hopf. Les caractères de ces algèbres de Hopf donnent lieu à des fonctions symétriques qui encode de l’information sur les coloriages du complexe simplicial ainsi que son vecteur-$f$. Nousallons également utiliser des caractères pour donner une généralisation du théorème $(-1)$ de Stanley.

scholarly journals Zonotopes, toric arrangements, and generalized Tutte polynomials

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Luca Moci
Keyword(s):  
Characteristic Polynomial ◽  
Hilbert Series ◽  
Hyperplane Arrangement ◽  
Tutte Polynomial ◽  
Integral Points ◽  
Poincaré Polynomial ◽  
Tutte Polynomials ◽  
International Audience ◽  
Toric Arrangement ◽  
Positive Coefficients

International audience We introduce a multiplicity Tutte polynomial $M(x,y)$, which generalizes the ordinary one and has applications to zonotopes and toric arrangements. We prove that $M(x,y)$ satisfies a deletion-restriction recurrence and has positive coefficients. The characteristic polynomial and the Poincaré polynomial of a toric arrangement are shown to be specializations of the associated polynomial $M(x,y)$, likewise the corresponding polynomials for a hyperplane arrangement are specializations of the ordinary Tutte polynomial. Furthermore, $M(1,y)$ is the Hilbert series of the related discrete Dahmen-Micchelli space, while $M(x,1)$ computes the volume and the number of integral points of the associated zonotope. On introduit un polynôme de Tutte avec multiplicité $M(x, y)$, qui généralise le polynôme de Tutte ordinaire et a des applications aux zonotopes et aux arrangements toriques. Nous prouvons que $M(x, y)$ satisfait une récurrence de "deletion-restriction'' et a des coefficients positifs. Le polynôme caractéristique et le polynôme de Poincaré d'un arrangement torique sont des spécialisations du polynôme associé $M(x, y)$, de même que les polynômes correspondants pour un arrangement d'hyperplans sont des spécialisations du polynôme de Tutte ordinaire. En outre, $M(1, y)$ est la série de Hilbert de l'espace discret de Dahmen-Micchelli associé, et $M(x, 1)$ calcule le volume et le nombre de points entiers du zonotope associé.

scholarly journals Quasisymmetric functions from combinatorial Hopf monoids and Ehrhart Theory

2020 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 28th... ◽  
Author(s):  
Jacob White
Keyword(s):  
Commutative Algebra ◽  
Hopf Algebras ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Hilbert Functions ◽  
Quasisymmetric Functions ◽  
Ehrhart Theory ◽  
International Audience ◽  
Hopf Monoid

International audience We investigate quasisymmetric functions coming from combinatorial Hopf monoids. We show that these invariants arise naturally in Ehrhart theory, and that some of their specializations are Hilbert functions for relative simplicial complexes. This class of complexes, called forbidden composition complexes, also forms a Hopf monoid, thus demonstrating a link between Hopf algebras, Ehrhart theory, and commutative algebra. We also study various specializations of quasisymmetric functions.

scholarly journals On $\gamma$-vectors satisfying the Kruskal-Katona inequalities

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
E. Nevo ◽  
T. K. Petersen
Keyword(s):  
Simplicial Complexes ◽  
Homology Sphere ◽  
Gamma Delta ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We present examples of flag homology spheres whose $\gamma$-vectors satisfy the Kruskal-Katona inequalities. This includes several families of well-studied simplicial complexes, including Coxeter complexes and the simplicial complexes dual to the associahedron and to the cyclohedron. In these cases, we construct explicit flag simplicial complexes whose $f$-vectors are the $\gamma$-vectors in question, and so a result of Frohmader shows that the $\gamma$-vectors satisfy not only the Kruskal-Katona inequalities but also the stronger Frankl-Füredi-Kalai inequalities. In another direction, we show that if a flag $(d-1)$-sphere has at most $2d+3$ vertices its $\gamma$-vector satisfies the Frankl-Füredi-Kalai inequalities. We conjecture that if $\Delta$ is a flag homology sphere then $\gamma (\Delta)$ satisfies the Kruskal-Katona, and further, the Frankl-Füredi-Kalai inequalities. This conjecture is a significant refinement of Gal's conjecture, which asserts that such $\gamma$-vectors are nonnegative. Nous présentons des exemples de sphères d'homologie flag dont $\gamma$-vecteurs satisfaire les inégalités de Kruskal-Katona. Cela comprend plusieurs familles de bien étudiés simplicial complexes, y compris les complexes de Coxeter et les complexes simpliciaux dual de l'associahedron et à la cyclohedron. Dans ces cas, nous construisons explicite flag simplicial complexes dont les $f$-vecteurs sont les $\gamma$-vecteurs en question, et ainsi de suite de Frohmader montre que le $\gamma$-vecteurs de satisfaire non seulement les inégalités de Kruskal-Katona mais aussi les plus fortes inégalités Frankl-Füredi-Kalai. Dans une autre direction, nous montrons que, si un flag $(d-1)$-sphère a au plus $2d+3$ sommets son $\gamma$-vecteur satisfait aux inégalités de Frankl-Füredi-Kalai. Nous conjecture que, si $\Delta$ est une sphère d'homologie flag alors $\gamma(\Delta)$ satisfait aux inégalités de Kruskal-Katona, en outre, celles de Frankl-Füredi-Kalai. Cette conjecture est un raffinement significatif de la conjecture de Gal, qui affirme que ces $\gamma$-vecteurs sont nonnégatifs.

scholarly journals Critical Groups of Simplicial Complexes

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Art M. Duval ◽  
Caroline J. Klivans ◽  
Jeremy L. Martin
Keyword(s):  
Simplicial Complex ◽  
Spanning Trees ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Chow Groups ◽  
Critical Group ◽  
Critical Groups ◽  
Combinatorial Laplacian ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Laplacian Operators

International audience We generalize the theory of critical groups from graphs to simplicial complexes. Specifically, given a simplicial complex, we define a family of abelian groups in terms of combinatorial Laplacian operators, generalizing the construction of the critical group of a graph. We show how to realize these critical groups explicitly as cokernels of reduced Laplacians, and prove that they are finite, with orders given by weighted enumerators of simplicial spanning trees. We describe how the critical groups of a complex represent flow along its faces, and sketch another potential interpretation as analogues of Chow groups. Nous généralisons la théorie des groupes critiques des graphes aux complexes simpliciaux. Plus précisément, pour un complexe simplicial, nous définissons une famille de groupes abéliens en termes d'opérateurs de Laplace combinatoires, qui généralise la construction du groupe critique d'un graphe. Nous montrons comment réaliser ces groupes critiques explicitement comme conoyaux des opérateurs de Laplace réduits combinatoires, et montrons qu'ils sont finis. Leurs ordres sont obtenus en comptant (avec des poids) des arbres simpliciaux couvrants. Nous décrivons comment les groupes critiques d'un complexe représentent le flux le long de ses faces, et esquissons une autre interprétation potentielle comme analogues des groupes de Chow.

scholarly journals Flows on Simplicial Complexes

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Matthias Beck ◽  
Yvonne Kemper
Keyword(s):  
Simplicial Complexes ◽  
International Audience ◽  
Definition Of

International audience Given a graph $G$, the number of nowhere-zero $\mathbb{Z}_q$-flows $\phi _G(q)$ is known to be a polynomial in $q$. We extend the definition of nowhere-zero $\mathbb{Z} _q$-flows to simplicial complexes $\Delta$ of dimension greater than one, and prove the polynomiality of the corresponding function $\phi_{\Delta}(q)$ for certain $q$ and certain subclasses of simplicial complexes. Etant donné un graphe $G$, on est connu que le nombre de $\mathbb{Z}_q$-flots non-nuls $\phi _G(q)$ est un polynôme dans $q$. Nous étendons la définition de $\mathbb{Z} _q$-flots non-nuls pour inclure des complexes simpliciaux de dimension plus grande qu'un, et on montre que le nombre est aussi un polynôme de la fonction correspondante pour certain valeurs de $q$ et de certaines sous-classes de complexes simpliciaux.

scholarly journals Dyck path triangulations and extendability (extended abstract)

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Cesar Ceballos ◽  
Arnau Padrol ◽  
Camilo Sarmiento
Keyword(s):  
Cartesian Product ◽  
Explicit Construction ◽  
Oriented Matroids ◽  
Oriented Matroid ◽  
Dyck Path ◽  
Matroid Theory ◽  
Dyck Paths ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We introduce the Dyck path triangulation of the cartesian product of two simplices $\Delta_{n-1}\times\Delta_{n-1}$. The maximal simplices of this triangulation are given by Dyck paths, and its construction naturally generalizes to produce triangulations of $\Delta_{r\ n-1}\times\Delta_{n-1}$ using rational Dyck paths. Our study of the Dyck path triangulation is motivated by extendability problems of partial triangulations of products of two simplices. We show that whenever$m\geq k>n$, any triangulations of $\Delta_{m-1}^{(k-1)}\times\Delta_{n-1}$ extends to a unique triangulation of $\Delta_{m-1}\times\Delta_{n-1}$. Moreover, with an explicit construction, we prove that the bound $k>n$ is optimal. We also exhibit interpretations of our results in the language of tropical oriented matroids, which are analogous to classical results in oriented matroid theory. Nous introduisons la triangulation par chemins de Dyck du produit cartésien de deux simplexes $\Delta_{n-1}\times\Delta_{n-1}$. Les simplexes maximaux de cette triangulation sont donnés par des chemins de Dyck, et cette construction se généralise de façon naturelle pour produire des triangulations $\Delta_{r\ n-1}\times\Delta_{n-1}$ qui utilisent des chemins de Dyck rationnels. Notre étude de la triangulation par chemins de Dyck est motivée par des problèmes de prolongement de triangulations partielles de produits de deux simplexes. On montre que $m\geq k>n$ alors toute triangulation de $\Delta_{m-1}^{(k-1)}\times\Delta_{n-1}$ se prolonge en une unique triangulation de $\Delta_{m-1}\times\Delta_{n-1}$. De plus, avec une construction explicite, nous montrons que la borne $k>n$ est optimale. Nous présentons aussi des interprétations de nos résultats dans le langage des matroïdes orientés tropicaux, qui sont analogues aux résultats classiques de la théorie des matroïdes orientés.

scholarly journals Cumulants of the q-semicircular law, Tutte polynomials, and heaps

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Matthieu Josuat-Vergès
Keyword(s):  
Tutte Polynomial ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Poisson Law ◽  
Semicircular Law ◽  
Combinatorial Model ◽  
Tutte Polynomials ◽  
International Audience ◽  
Nonnegative Coefficients

International audience The q-semicircular law as introduced by Bożejko and Speicher interpolates between the Gaussian law and the semicircular law, and its moments have a combinatorial interpretation in terms of matchings and crossings. We prove that the cumulants of this law are, up to some factor, polynomials in q with nonnegative coefficients. This is done by showing that they are obtained by an enumeration of connected matchings, weighted by the evaluation at (1,q) of a Tutte polynomial. The two particular cases q=0 and q=2 have also alternative proofs, related with the fact that these particular evaluation of the Tutte polynomials count some orientations on graphs. Our methods also give a combinatorial model for the cumulants of the free Poisson law. La loi q-semicirculaire introduite par Bożejko et Speicher interpole entre la loi gaussienne et la loi semi-circulaire, et ses moments ont une interprétation combinatoire en termes de couplages et croisements. Nous prouvons que les cumulants de cette loi sont, à un facteur près, des polynômes en q à coefficients positifs. La méthode consiste à obtenir ces cumulants par une énumération de couplages connexes, pondérés par l’évaluation en (1,q) d'un polynôme de Tutte. Les cas particuliers q=0 et q=2 ont une preuve alternative, reliè au fait que des évaluations particulières du polynôme de Tutte comptent certaines orientations de graphes. Nos méthodes donnent aussi un modèle combinatoire aux cumulants de la loi de Poisson libre.

scholarly journals On a Unimodality Conjecture in Matroid Theory

2002 ◽  
Vol Vol. 5 ◽  
Author(s):  
W. M. B. Dukes
Keyword(s):  
Matroid Theory ◽  
International Audience ◽  
Rank 2

International audience A certain unimodal conjecture in matroid theory states the number of rank-r matroids on a set of size n is unimodal in r and attains its maximum at r=\lfloor n/2 \rfloor . We show that this conjecture holds up to r=3 by constructing a map from a class of rank-2 matroids into the class of loopless rank-3 matroids. Similar inequalities are proven for the number of non-isomorphic loopless matroids, loopless matroids and matroids.

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