Hopf Bifurcation in Differential Equations with Delay for Tumor–Immune System Competition Model

2007 ◽  
Vol 67 (6) ◽  
pp. 1693-1703 ◽  
Author(s):  
Radouane Yafia
Keyword(s):  
Immune System ◽  
Hopf Bifurcation ◽  
Differential Equations ◽  
Competition Model ◽  
Equations With Delay

scholarly journals TIME DELAY NEURAL NETWORK MODELING IMMUNE SYSTEM

2021 ◽  
pp. 43-48
Author(s):  
И.А. Шаповалова
Keyword(s):  
Mathematical Modeling ◽  
Neural Networks ◽  
Mathematical Model ◽  
Artificial Neural Networks ◽  
Immune System ◽  
Differential Equations ◽  
Mathematical Models ◽  
Artificial Neural ◽  
Equations With Delay ◽  
State Functions

Современная иммунология не может успешно развиваться без помощи математического моделирования. Математические модели являются эффективным фильтром идей и индикатором правильности выбранных предположений, позволяют дать правильную интерпретацию результатам и выбирать критерии для оценки правильности, могут быть использованы как средство для визуализации результатов вычисления, что помогает дальнейшему развитию вычислительных алгоритмов. Исследование математической модели иммунной системы позволяет сравнивать теоретические и экспериментальные результаты и уточнять предположения, положенные в основу математического моделирования. Иммунная система является высокоразвитой биологической системой, функция которой заключается в выявлении и уничтожении чужеродного агента, поэтому она должна распознавать разнообразных возбудителей. Иммунная система способна к обучению, запоминанию, распознаванию образов, аналогичными свойствами обладают искусственные нейронные сети. Искусственные нейронные сети, подобно биологическим, являются вычислительной системой с огромным числом параллельно функционирующих простых процессоров с огромным числом связей. Нейросетевые алгоритмы используются в кластеризации, визуализации данных, контроле и оптимизации управляемых процессов, разработке искусственных нейронных сетей. В работе исследуется математическая модель иммунной системы, которая моделируется с помощью искусственной нейронной сети и описывается системой дифференциальных уравнений с запаздыванием. При анализе модели используется аппарат математической теории оптимального управления, а именно принцип максимума для систем дифференциальных уравнений с запаздыванием в аргументе функции состояния и аппарат методов оптимизации, базирующийся на методе быстрого автоматического дифференцирования. Вместо традиционных методов программирования используется обучение полносвязной искусственной нейронной сети с помощью метода распространения ошибки. Modern immunology can not be developed successfully without the help of mathematical modeling. Mathematical models are an effective way filter and indicator of the correctness of the selected assumptions. Mathematical models allow us to give a correct interpretation of the results, to select criteria for evaluating the correctness and that help the development of the numerical methods and algorithm. The research of the mathematical model of the immune system allow to compare theoretical and experimental results and clarified mathematical assumptions laid down in the basis of mathematical modeling. The immune system is a highly developed biological system, whose function is to detect and destroy foreign substance, so it needs to recognize a variety of pathogens.The immune system is capable of learning to remember the recognitions of images. The similar properties possess artificial neural networks. Similar to biological ones artificial neural networks are computer systems with a huge number of parallel functioning simple processors and with a large number of connections. Neural networks algorithms are used in clustering, data visualization, control and optimization of processes, the development of artificial neural networks. In the article we consider mathematical model of immune system modeled with the help of artificial multi layer neural net described by the system of differential equations with delay in argument of state functions. The model is analyzed with the help of the theory of optimal control namely the maximum principle of Pontrjagin for the systems of differential equations with delay in argument of the state functions. The method of optimization is based on the method of fast automatic differentiations. Instead of traditional methods of programming the training of the fully connected neural networks and the error propagation method are used.

Numerical Approximation of Hopf Bifurcation for Tumor-Immune System Competition Model with Two Delays

2013 ◽  
Vol 5 (2) ◽  
pp. 146-162
Author(s):  
Jing-Jun Zhao ◽  
Jing-Yu Xiao ◽  
Yang Xu
Keyword(s):  
Immune System ◽  
Hopf Bifurcation ◽  
Numerical Approximation ◽  
Center Manifold ◽  
Competition Model ◽  
Center Manifold Theory ◽  
Two Delays ◽  
Normal Form Method ◽  
The Stability ◽  
Manifold Theory

AbstractThis paper is concerned with the Hopf bifurcation analysis of tumor-immune system competition model with two delays. First, we discuss the stability of state points with different kinds of delays. Then, a sufficient condition to the existence of the Hopf bifurcation is derived with parameters at different points. Furthermore, under this condition, the stability and direction of bifurcation are determined by applying the normal form method and the center manifold theory. Finally, a kind of Runge-Kutta methods is given out to simulate the periodic solutions numerically. At last, some numerical experiments are given to match well with the main conclusion of this paper.

scholarly journals Oscillation Results for Nonlinear Higher-Order Differential Equations with Delay Term

Symmetry ◽  
2021 ◽  
Vol 13 (3) ◽  
pp. 446
Author(s):  
Alanoud Almutairi ◽  
Omar Bazighifan ◽  
Youssef N. Raffoul
Keyword(s):  
Differential Equations ◽  
Nonlinear Differential Equations ◽  
Higher Order ◽  
Middle Term ◽  
Delay Term ◽  
Integral Averaging Technique ◽  
Equations With Delay ◽  
Oscillation Of Solutions ◽  
Comparison Technique ◽  
Higher Order Differential Equations

The aim of this work is to investigate the oscillation of solutions of higher-order nonlinear differential equations with a middle term. By using the integral averaging technique, Riccati transformation technique and comparison technique, several oscillatory properties are presented that unify the results obtained in the literature. Some examples are presented to demonstrate the main results.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document