Photolithography simulation on nonplanar substrate using the finite-element method with absorbing boundary conditions

1997 ◽  
Author(s):  
In-Ho Park ◽  
Hye-Keun Oh ◽  
S. B. Hyun
Keyword(s):  
Finite Element Method ◽  
Finite Element ◽  
Boundary Conditions ◽  
Absorbing Boundary Conditions ◽  
The Finite Element Method ◽  
Absorbing Boundary ◽  
Element Method

scholarly journals Electromagnetic simulation and eigen-analysis of three dimensional radiating structures based on the finite element method

2015 ◽  
Author(s):  
Κωνσταντίνος Ζέκιος
Keyword(s):  
Finite Element Method ◽  
Finite Element ◽  
Boundary Conditions ◽  
Three Dimensional ◽  
Absorbing Boundary Conditions ◽  
Electromagnetic Simulation ◽  
The Finite Element Method ◽  
Absorbing Boundary ◽  
Eigen Analysis ◽  
Element Method

Σκοπός της διατριβής αυτής είναι η ιδιοανάλυση ανοικτών ακτινοβολουσών δομών με την εφαρμογή της αριθμητικής τεχνικής πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM). Στην ιδιοανάλυση η εξίσωση κύματος επιλύεται απουσία πηγής. Ο βασικός λόγος για τον οποίο η εργασία αυτή κατευθύνθηκε στην ιδιοανάλυση είναι το γεγονός πως μέσω αυτής μπορούν να μελετηθούν τα φυσικά χαρακτηριστικά της υπό μελέτης δομής. Πρόκειται στην πραγματικότητα για μια συμπληρωματική ανάλυση της αιτιοκρατικής-ντετερμινιστικής προσέγγισης (πρόκειται για την προσέγγιση στην οποία η εξίσωση κύματος επιλύεται παρουσία πηγής). Η ιδιοανάλυση εφαρμόζεται στην ουσία σε πρώτο χρόνο πριν την αιτιοκρατική προσέγγιση, εισάγωντας ζωτικής σημασίας κατευθυντήριες γραμμές για τη λειτουργικότητα της υπό μελέτης δομής.Προκειμένου να μελετηθεί η συνθήκη ακτινοβολίας μιας δομής είναι απαραίτητη η εισαγωγή μιας τεχνικής περιορισμού του χώρου επίλυσης. Η βασική ιδέα είναι η εισαγωγή μιας φανταστικής επιφάνειας γύρω από την υπο μελέτη δομή, περιορίζοντας τον άπειρο χώρο επίλυσης. Η φανταστική επιφάνεια εισάγει μια μιγαδική αντίσταση, ενώ βασικός της σκοπός είναι να είναι διαφανής σε οποιοδήποτε σκεδανύμενο κύμα. Οι τεχνικές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση ανοικτών ακτινοβολούντων δομών μπορεί να κατηγοριοποιηθεί στις τοπικές και καθολικές τεχνικές. Η διάκριση αυτή σχετίζεται με το είδος των οριακών συνθηκών που εφαρμόζονται πάνω στη φανταστική επιφάνεια. Στα πλαίσια της διατριβής αυτής γίνεται η ανάπτυξη τόσο μιας τοπικής όσο και μιας καθολικής τεχνικής, εκμεταλλευόμενοι κάθε φορά τα πλεονεκτήματα που προσφέρει η καθεμία. Επιπρόσθετα, το πρόβλημα της εμφάνισης ψευδών λύσεων αναλύεται εκτενώς και προτείνεται μια νέα τεχνική για την απομάκρυνσή τους.Για τις τοπικές οριακές συνθήκες οι απορροφητικές οριακές συνθήκες (absorbing boundary conditions, ABC) πρώτης 1ης και δεύτερης 2ης τάξης εφαρμόζονται. Δεδομένου ότι οι τοπικές οριακές συνθήκες εμφάνιζουν έκδηλα το πρόβλημα των ψευδών λύσεων μια νέα τεχνική για την απομάκρυνσή τους αναπτύχθηκε στα πλαίσια της διατριβής. Η τεχνική αναπτύχθηκε σε μια γενικευμένη μορφή με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορεί να εφαρμοσθεί σε μια σειρά από συχνά εμφανιζόμενα προβλήματα στον ηλεκτρομαγνητισμό: i) κλειστές κοιλότητες με τέλεια ηλεκτρικά αγώγιμα τοιχώματα, ii) κλειστές κοιλότητες με τέλεια μαγνητικά αγώγιμα τοιχώματα, iii) κλειστές κοιλότητες με πεπερασμένη αγωγιμότητα τοιχωμάτων (συνθήκη Leontovich), iv) κλειστές κοιλότητες με απώλειες εξαιτίας αγώγιμων φορέων στο εσωτερικό τους, v) ανοικτές ακτινοβολούσες διατάξεις με την εφαρμογή απορροφητικών οριακών συνθηκών πρώτης 1ης και δεύτερης 2ης τάξης, και vi) οποιοδήποτε συνδυασμό των παραπάνω περιπτώσεων.Για τις καθολικές οριακές συνθήκες η διανυσματική τεχνική απεικόνισης δεδομένων Dirichlet σε δεδομένα Neumann (Dirichlet to Neumann mapping, DtN) αναπτύχθηκε. Προκειμένουν να περιορισθεί ο άπειρος χώρος επίλυσης μια φανταστική σφαίρα σχεδιάζεται μέσα στην οποία εσωκλείεται η υπό μελέτη δομή. Στην περίπτωση αυτή το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο έξω από τη σφαίρα περιγράφεται από ένα άπειρο πλήθος σφαιρικών αρμονικών. Οι αρμονικές αυτές εκφράζονται σε όρους σφαιρικών αρμονικών Hankel τάξης v=n+1/2 και δεύτερου τύπου στην ακτινική διεύθυνση, ενώ έχουν και ημιτονοειδή εξάρτηση στις δύο γωνίες φ και θ (e^{+jmφ} , $e^{-jmθ}). Μέσα στη σφαίρα αναπτύσσεται η αριθμητική τεχνική των πεπερασμένων στοιχείων. Η συσχέτιση των δύο λύσεων επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της συνέχειας του πεδίου τόσο ως προς τις ηλεκτρικές όσο και ως προς τις μαγνητικές εφαπτομενικές συνιστώσες (Eφ, Eθ, Hφ, Hθ) πάνω στην φανταστική επιφάνεια. Στη συνέχεια εφαρμόζονται οι συνθήκες ορθογωνιότητας τωνς σφαρικών αρμονικών καταστρώνοντας ένα σύστημα εξισώσεων. Οι συντελεστές βάρους του αναπτύγματος του πεδίου του χώρου έξω από τη σφαιρική επιφάνεια αποτελούν τους άγνωστους. Το ανάπτυγμα του πεδίου εκφράζεται με τον τρόπο αυτό σε όρους των συναρτήσεων των πεπερασμένων στοιχείων μέσω των οριακών συνθηκών. Έτσι με τον τρόπο αυτό καταστρώνεται μια κλειστή έκφραση, η οποία είναι γραμμένη σε ένα σύστημα εξισώσεων και που μπορεί να επιλυθεί ώστε να προσδιοριστούν οι τιμές του πεδίου. Πολύ σημαντικός επίσης είναι ο υπολογισμός του μακρινού πεδίου, το οποίο μπορεί εύκολα να υπολογισθεί αξιοποιώντας τους συντελεστές βάρους των σφαιρικών αρμονικών. Με βάση τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι δυνατόν να επιλεγεί η καλύτερη τροφοδοσία ώστε να επιτευχθεί ο κατάλληλος ρυθμός. Λαμβάνοντας υπόψιν όλα τα παραπάνω, το ανοικτό πρόβλημα μετασχηματίζεται σε ένα ισοδύναμο κλειστό γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών, το οποίο όμως είναι μη-γραμμικό. Η μη γραμμικότητα παρουσιάζεται εξαιτίας της εμφάνισης της ιδιοτιμής του προβλήματος στο όρισμα των συναρτήσεων Hankel. Για να αντιμετωπιστεί η μη-γραμμικότητα αυτή ο αλγόριθμος εσφαλμένης θέσης (regula falsi) αναπτύσσεται, ενώ το πρόβλημα ιδιοτιμών επιλύεται με την προβολή του αρχικού προβλήματος σε ένα χώρο Krylov και την εφαρμογή του αλγορίθμου Arnoldi αξιοποιώντας την αραιότητα των πινάκων. Αυτό είναι και το βασικό μειονέκτημα της τεχνικής αυτής. Το ότι ο πίνακας διασύνδεσης των δύο λύσεων πρέπει να καταστρώνεται σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου γραμμικοποίησης regula falsi. Αυτό κάνει την τεχνική αυτή αρκετά αργή και υπολογιστικά μη-αποδοτική.

Wave Equation Simulation by Finite-Element Method with Perfectly Matched Layer

2012 ◽  
Vol 524-527 ◽  
pp. 96-100 ◽  
Author(s):  
Hong Wei Guo ◽  
Shang Xu Wang ◽  
Nai Chuan Guo ◽  
Wei Chen
Keyword(s):  
Finite Element Method ◽  
Finite Element ◽  
Boundary Conditions ◽  
Perfectly Matched Layer ◽  
Absorbing Boundary Conditions ◽  
Absorption Effect ◽  
Absorbing Boundary ◽  
The One ◽  
First Time ◽  
Element Method

In numerical simulation, the treatment of boundary conditions is of great significance. In this paper, we have deduced the one order governing equations of the acoustic wave finite-element method with perfectly matched layer (PML) for the first time. The one order equations are easier to realize than the two order form and have a good absorption effect. Then, we have analyzed the absorption effect of the absorbing boundary conditions (ABCs) and the PML. Finally, we get some useful conclusions.

Physical statement of the problem for a numerical model of soil freezing and heaving taking into account heat and mass transfer

2021 ◽  
pp. 244-256
Author(s):  
Виктор Григорьевич Чеверев ◽  
Евгений Викторович Сафронов ◽  
Алексей Александрович Коротков ◽  
Александр Сергеевич Чернятин
Keyword(s):  
Finite Element Method ◽  
Mass Transfer ◽  
Finite Element ◽  
Numerical Model ◽  
Boundary Conditions ◽  
Heat And Mass Transfer ◽  
Soil Freezing ◽  
The Finite Element Method ◽  
Freezing Front ◽  
Element Method

Существуют два основных подхода решения задачи тепломассопереноса при численном моделировании промерзания грунтов: 1) решение методом конечных разностей с учетом граничных условий (границей, например, является фронт промерзания); 2) решение методом конечных элементов без учета границ модели. Оба подхода имеют существенные недостатки, что оставляет проблему решения задачи для численной модели промерзания грунтов острой и актуальной. В данной работе представлена физическая постановка промерзания, которая позволяет создать численную модель, базирующуюся на решении методом конечных элементов, но при этом отражающую ход фронта промерзания - то есть модель, в которой объединены оба подхода к решению задачи промерзания грунтов. Для подтверждения корректности модели был проделан ряд экспериментов по физическому моделированию промерзания модельного грунта и выполнен сравнительный анализ полученных экспериментальных данных и результатов расчетов на базе представленной численной модели с такими же граничными условиями, как в экспериментах. There are two basic approaches to solving the problem of heat and mass transfer in the numerical modeling of soil freezing: 1) using the finite difference method taking into account boundary conditions (the boundary, for example, is the freezing front); 2) using the finite element method without consideration of model boundaries. Both approaches have significant drawbacks, which leaves the issue of solving the problem for the numerical model of soil freezing acute and up-to-date. This article provides the physical setting of freezing that allows us to create a numerical model based on the solution by the finite element method, but at the same time reflecting the route of the freezing front, i.e. the model that combines both approaches to solving the problem of soil freezing. In order to confirm the correctness of the model, a number of experiments on physical modeling of model soil freezing have been performed, and a comparative analysis of the experimental data obtained and the calculation results based on the provided numerical model with the same boundary conditions as in the experiments was performed.

scholarly journals Calculation of the goffered multilayered composite cylindrical shells by using the finite element method

1999 ◽  
Vol 21 (2) ◽  
pp. 116-128
Author(s):  
Pham Thi Toan
Keyword(s):  
Finite Element Method ◽  
Finite Element ◽  
Boundary Conditions ◽  
Cylindrical Shells ◽  
The Finite Element Method ◽  
Multilayered Composite ◽  
Internal Forces ◽  
External Loads ◽  
Element Method ◽  
Composite Cylindrical Shells

In the present paper, the goffered multilayered composite cylindrical shells is directly calculated by finite element method. Numerical results on displacements, internal forces and moments are obtained for various kinds of external loads and different boundary conditions.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document