Wave Equation Simulation by Finite-Element Method with Perfectly Matched Layer

2012 ◽  
Vol 524-527 ◽  
pp. 96-100 ◽  
Author(s):  
Hong Wei Guo ◽  
Shang Xu Wang ◽  
Nai Chuan Guo ◽  
Wei Chen
Keyword(s):  
Finite Element Method ◽  
Finite Element ◽  
Boundary Conditions ◽  
Perfectly Matched Layer ◽  
Absorbing Boundary Conditions ◽  
Absorption Effect ◽  
Absorbing Boundary ◽  
The One ◽  
First Time ◽  
Element Method

In numerical simulation, the treatment of boundary conditions is of great significance. In this paper, we have deduced the one order governing equations of the acoustic wave finite-element method with perfectly matched layer (PML) for the first time. The one order equations are easier to realize than the two order form and have a good absorption effect. Then, we have analyzed the absorption effect of the absorbing boundary conditions (ABCs) and the PML. Finally, we get some useful conclusions.

scholarly journals Electromagnetic simulation and eigen-analysis of three dimensional radiating structures based on the finite element method

2015 ◽  
Author(s):  
Κωνσταντίνος Ζέκιος
Keyword(s):  
Finite Element Method ◽  
Finite Element ◽  
Boundary Conditions ◽  
Three Dimensional ◽  
Absorbing Boundary Conditions ◽  
Electromagnetic Simulation ◽  
The Finite Element Method ◽  
Absorbing Boundary ◽  
Eigen Analysis ◽  
Element Method

Σκοπός της διατριβής αυτής είναι η ιδιοανάλυση ανοικτών ακτινοβολουσών δομών με την εφαρμογή της αριθμητικής τεχνικής πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM). Στην ιδιοανάλυση η εξίσωση κύματος επιλύεται απουσία πηγής. Ο βασικός λόγος για τον οποίο η εργασία αυτή κατευθύνθηκε στην ιδιοανάλυση είναι το γεγονός πως μέσω αυτής μπορούν να μελετηθούν τα φυσικά χαρακτηριστικά της υπό μελέτης δομής. Πρόκειται στην πραγματικότητα για μια συμπληρωματική ανάλυση της αιτιοκρατικής-ντετερμινιστικής προσέγγισης (πρόκειται για την προσέγγιση στην οποία η εξίσωση κύματος επιλύεται παρουσία πηγής). Η ιδιοανάλυση εφαρμόζεται στην ουσία σε πρώτο χρόνο πριν την αιτιοκρατική προσέγγιση, εισάγωντας ζωτικής σημασίας κατευθυντήριες γραμμές για τη λειτουργικότητα της υπό μελέτης δομής.Προκειμένου να μελετηθεί η συνθήκη ακτινοβολίας μιας δομής είναι απαραίτητη η εισαγωγή μιας τεχνικής περιορισμού του χώρου επίλυσης. Η βασική ιδέα είναι η εισαγωγή μιας φανταστικής επιφάνειας γύρω από την υπο μελέτη δομή, περιορίζοντας τον άπειρο χώρο επίλυσης. Η φανταστική επιφάνεια εισάγει μια μιγαδική αντίσταση, ενώ βασικός της σκοπός είναι να είναι διαφανής σε οποιοδήποτε σκεδανύμενο κύμα. Οι τεχνικές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση ανοικτών ακτινοβολούντων δομών μπορεί να κατηγοριοποιηθεί στις τοπικές και καθολικές τεχνικές. Η διάκριση αυτή σχετίζεται με το είδος των οριακών συνθηκών που εφαρμόζονται πάνω στη φανταστική επιφάνεια. Στα πλαίσια της διατριβής αυτής γίνεται η ανάπτυξη τόσο μιας τοπικής όσο και μιας καθολικής τεχνικής, εκμεταλλευόμενοι κάθε φορά τα πλεονεκτήματα που προσφέρει η καθεμία. Επιπρόσθετα, το πρόβλημα της εμφάνισης ψευδών λύσεων αναλύεται εκτενώς και προτείνεται μια νέα τεχνική για την απομάκρυνσή τους.Για τις τοπικές οριακές συνθήκες οι απορροφητικές οριακές συνθήκες (absorbing boundary conditions, ABC) πρώτης 1ης και δεύτερης 2ης τάξης εφαρμόζονται. Δεδομένου ότι οι τοπικές οριακές συνθήκες εμφάνιζουν έκδηλα το πρόβλημα των ψευδών λύσεων μια νέα τεχνική για την απομάκρυνσή τους αναπτύχθηκε στα πλαίσια της διατριβής. Η τεχνική αναπτύχθηκε σε μια γενικευμένη μορφή με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορεί να εφαρμοσθεί σε μια σειρά από συχνά εμφανιζόμενα προβλήματα στον ηλεκτρομαγνητισμό: i) κλειστές κοιλότητες με τέλεια ηλεκτρικά αγώγιμα τοιχώματα, ii) κλειστές κοιλότητες με τέλεια μαγνητικά αγώγιμα τοιχώματα, iii) κλειστές κοιλότητες με πεπερασμένη αγωγιμότητα τοιχωμάτων (συνθήκη Leontovich), iv) κλειστές κοιλότητες με απώλειες εξαιτίας αγώγιμων φορέων στο εσωτερικό τους, v) ανοικτές ακτινοβολούσες διατάξεις με την εφαρμογή απορροφητικών οριακών συνθηκών πρώτης 1ης και δεύτερης 2ης τάξης, και vi) οποιοδήποτε συνδυασμό των παραπάνω περιπτώσεων.Για τις καθολικές οριακές συνθήκες η διανυσματική τεχνική απεικόνισης δεδομένων Dirichlet σε δεδομένα Neumann (Dirichlet to Neumann mapping, DtN) αναπτύχθηκε. Προκειμένουν να περιορισθεί ο άπειρος χώρος επίλυσης μια φανταστική σφαίρα σχεδιάζεται μέσα στην οποία εσωκλείεται η υπό μελέτη δομή. Στην περίπτωση αυτή το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο έξω από τη σφαίρα περιγράφεται από ένα άπειρο πλήθος σφαιρικών αρμονικών. Οι αρμονικές αυτές εκφράζονται σε όρους σφαιρικών αρμονικών Hankel τάξης v=n+1/2 και δεύτερου τύπου στην ακτινική διεύθυνση, ενώ έχουν και ημιτονοειδή εξάρτηση στις δύο γωνίες φ και θ (e^{+jmφ} , $e^{-jmθ}). Μέσα στη σφαίρα αναπτύσσεται η αριθμητική τεχνική των πεπερασμένων στοιχείων. Η συσχέτιση των δύο λύσεων επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της συνέχειας του πεδίου τόσο ως προς τις ηλεκτρικές όσο και ως προς τις μαγνητικές εφαπτομενικές συνιστώσες (Eφ, Eθ, Hφ, Hθ) πάνω στην φανταστική επιφάνεια. Στη συνέχεια εφαρμόζονται οι συνθήκες ορθογωνιότητας τωνς σφαρικών αρμονικών καταστρώνοντας ένα σύστημα εξισώσεων. Οι συντελεστές βάρους του αναπτύγματος του πεδίου του χώρου έξω από τη σφαιρική επιφάνεια αποτελούν τους άγνωστους. Το ανάπτυγμα του πεδίου εκφράζεται με τον τρόπο αυτό σε όρους των συναρτήσεων των πεπερασμένων στοιχείων μέσω των οριακών συνθηκών. Έτσι με τον τρόπο αυτό καταστρώνεται μια κλειστή έκφραση, η οποία είναι γραμμένη σε ένα σύστημα εξισώσεων και που μπορεί να επιλυθεί ώστε να προσδιοριστούν οι τιμές του πεδίου. Πολύ σημαντικός επίσης είναι ο υπολογισμός του μακρινού πεδίου, το οποίο μπορεί εύκολα να υπολογισθεί αξιοποιώντας τους συντελεστές βάρους των σφαιρικών αρμονικών. Με βάση τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι δυνατόν να επιλεγεί η καλύτερη τροφοδοσία ώστε να επιτευχθεί ο κατάλληλος ρυθμός. Λαμβάνοντας υπόψιν όλα τα παραπάνω, το ανοικτό πρόβλημα μετασχηματίζεται σε ένα ισοδύναμο κλειστό γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών, το οποίο όμως είναι μη-γραμμικό. Η μη γραμμικότητα παρουσιάζεται εξαιτίας της εμφάνισης της ιδιοτιμής του προβλήματος στο όρισμα των συναρτήσεων Hankel. Για να αντιμετωπιστεί η μη-γραμμικότητα αυτή ο αλγόριθμος εσφαλμένης θέσης (regula falsi) αναπτύσσεται, ενώ το πρόβλημα ιδιοτιμών επιλύεται με την προβολή του αρχικού προβλήματος σε ένα χώρο Krylov και την εφαρμογή του αλγορίθμου Arnoldi αξιοποιώντας την αραιότητα των πινάκων. Αυτό είναι και το βασικό μειονέκτημα της τεχνικής αυτής. Το ότι ο πίνακας διασύνδεσης των δύο λύσεων πρέπει να καταστρώνεται σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου γραμμικοποίησης regula falsi. Αυτό κάνει την τεχνική αυτή αρκετά αργή και υπολογιστικά μη-αποδοτική.

scholarly journals Shape Sensing of a Complex Aeronautical Structure with Inverse Finite Element Method

Sensors ◽  
2021 ◽  
Vol 21 (4) ◽  
pp. 1388
Author(s):  
Daniele Oboe ◽  
Luca Colombo ◽  
Claudio Sbarufatti ◽  
Marco Giglio
Keyword(s):  
Finite Element Method ◽  
Finite Element ◽  
Boundary Conditions ◽  
Strain Field ◽  
Element Analysis ◽  
Inverse Finite Element Method ◽  
Shape Sensing ◽  
Definition Of ◽  
High Level ◽  
Element Method

The inverse Finite Element Method (iFEM) is receiving more attention for shape sensing due to its independence from the material properties and the external load. However, a proper definition of the model geometry with its boundary conditions is required, together with the acquisition of the structure’s strain field with optimized sensor networks. The iFEM model definition is not trivial in the case of complex structures, in particular, if sensors are not applied on the whole structure allowing just a partial definition of the input strain field. To overcome this issue, this research proposes a simplified iFEM model in which the geometrical complexity is reduced and boundary conditions are tuned with the superimposition of the effects to behave as the real structure. The procedure is assessed for a complex aeronautical structure, where the reference displacement field is first computed in a numerical framework with input strains coming from a direct finite element analysis, confirming the effectiveness of the iFEM based on a simplified geometry. Finally, the model is fed with experimentally acquired strain measurements and the performance of the method is assessed in presence of a high level of uncertainty.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document