scholarly journals A simple model of trees for unicellular maps

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Guillaume Chapuy ◽  
Valentin Feray ◽  
Eric Fusy
Keyword(s):  
Simple Model ◽  
Symmetric Group ◽  
Recurrence Formula ◽  
Nous Obtenons ◽  
Plane Tree ◽  
Simple Description ◽  
Irreducible Characters ◽  
Bijective Proof ◽  
International Audience ◽  
Fixed Genus

International audience We consider unicellular maps, or polygon gluings, of fixed genus. In FPSAC '09 the first author gave a recursive bijection transforming unicellular maps into trees, explaining the presence of Catalan numbers in counting formulas for these objects. In this paper, we give another bijection that explicitly describes the ``recursive part'' of the first bijection. As a result we obtain a very simple description of unicellular maps as pairs made by a plane tree and a permutation-like structure. All the previously known formulas follow as an immediate corollary or easy exercise, thus giving a bijective proof for each of them, in a unified way. For some of these formulas, this is the first bijective proof, e.g. the Harer-Zagier recurrence formula, or the Lehman-Walsh/Goupil-Schaeffer formulas. Thanks to previous work of the second author this also leads us to a new expression for Stanley character polynomials, which evaluate irreducible characters of the symmetric group. Nous considèrons des cartes orientèes à une face de genre fixé. à SFCA'09 le premier auteur a introduit une bijection rècursive envoyant une carte unicellulaire vers un arbre, ce qui permet d'obtenir des formules ènumèratives pour les cartes à une face (et en particulier la prèsence des nombres de Catalan). Dans l'article ici prèsent, et en nous appuyant sur la bijection ci-dessus, nous obtenons une incarnation très simple des cartes à une face comme des paires formèes d'un arbre plan et d'une permutation d'un certain type. Toutes les formules prècèdemment connues dècoulent aisèment de cette nouvelle incarnation, donnant des preuves bijectives dans un cadre unifié. Pour certaines de ces formules, telles que la rècurrence de Harer-Zagier ou les formules de Lehman-Walsh/Goupil-Schaeffer, nous obtenons la première preuve bijective connue. Par ailleurs, en combinant notre approche avec des travaux du second auteur, nous obtenons une nouvelle expression pour les polynômes de Stanley qui donnent certaines èvaluations des caractères du groupe symètrique.

scholarly journals Linear coefficients of Kerov's polynomials: bijective proof and refinement of Zagier's result

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Valentin Féray ◽  
Ekaterina A. Vassilieva
Keyword(s):  
Stirling Numbers ◽  
Algebraic Methods ◽  
Combinatorial Proof ◽  
Nous Obtenons ◽  
Long Cycle ◽  
Bijective Proof ◽  
International Audience

International audience We look at the number of permutations $\beta$ of $[N]$ with $m$ cycles such that $(1 2 \ldots N) \beta^{-1}$ is a long cycle. These numbers appear as coefficients of linear monomials in Kerov's and Stanley's character polynomials. D. Zagier, using algebraic methods, found an unexpected connection with Stirling numbers of size $N+1$. We present the first combinatorial proof of his result, introducing a new bijection between partitioned maps and thorn trees. Moreover, we obtain a finer result, which takes the type of the permutations into account. Nous étudions le nombre de permutations $\beta$ de $[N]$ avec $m$ cycles telles que $(1 2 \ldots N) \beta^{-1}$ a un seul cycle. Ces nombres apparaissent en tant que coefficients des monômes linéaires des polynômes de Kerov et de Stanley. À l'aide de méthodes algébriques, D. Zagier a trouvé une connexion inattendue avec les nombres de Stirling de taille $N+1$. Nous présentons ici la première preuve combinatoire de son résultat, en introduisant une nouvelle bijection entre des cartes partitionnées et des arbres épineux. De plus, nous obtenons un résultat plus fin, prenant en compte le type des permutations.

scholarly journals Long Cycle Factorizations: Bijective Computation in the General Case

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Ekaterina A. Vassilieva
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Closed Form ◽  
Closed Form Expression ◽  
Form Expression ◽  
Cycle Structure ◽  
Irreducible Characters ◽  
Long Cycle ◽  
Number Of Factors ◽  
Generating Series ◽  
International Audience

International audience This paper is devoted to the computation of the number of ordered factorizations of a long cycle in the symmetric group where the number of factors is arbitrary and the cycle structure of the factors is given. Jackson (1988) derived the first closed form expression for the generating series of these numbers using the theory of the irreducible characters of the symmetric group. Thanks to a direct bijection we compute a similar formula and provide the first purely combinatorial evaluation of these generating series. Cet article est dédié au calcul du nombre de factorisations d’un long cycle du groupe symétrique pour lesquels le nombre de facteurs est arbitraire et la structure des cycles des facteurs est donnée. Jackson (1988) a dérivé la première expression compacte pour les séries génératrices de ces nombres en utilisant la théorie des caractères irréductibles du groupe symétrique. Grâce à une bijection directe nous démontrons une formule similaire et donnons ainsi la première évaluation purement combinatoire de ces séries génératrices.

scholarly journals Centralizers of the infinite symmetric group

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Zajj Daugherty ◽  
Peter Herbrich
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Symmetric Functions ◽  
Symmetric Groups ◽  
Unitary Representations ◽  
Nous Obtenons ◽  
Infinite Symmetric Group ◽  
Centralizer Algebras ◽  
Partition Algebras ◽  
International Audience ◽  
Double Commutant

International audience We review and introduce several approaches to the study of centralizer algebras of the infinite symmetric group $S_{\infty}$. Our work is led by the double commutant relationship between finite symmetric groups and partition algebras; in the case of $S_{\infty}$, we obtain centralizer algebras that are contained in partition algebras. In view of the theory of symmetric functions in non-commuting variables, we consider representations of $S_{\infty}$ that are faithful and that contain invariant elements; namely, non-unitary representations on sequence spaces. Nous étudions les algèbres du centralisateur du groupe symétrique infini $S_{\infty}$, passant en revue certaines approches et en introduisant de nouvelles. Notre travail est basé sur la relation du double commutant entre le groupe symétrique fini et les algèbres de partition; dans le cas de $S_{\infty}$, nous obtenons des algèbres du centralisateur contenues dans les algèbres de partition. Compte tenu de la théorie des fonctions symétriques en variables non commutatives, nous considérons les représentations de $S_{\infty}$ qui sont fidèles et contiennent les invariants; c’est-à-dire, les représentations non unitaires sur les espaces de suites.

scholarly journals A simple recurrence formula for the number of rooted maps on surfaces by edges and genus

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sean Carrell ◽  
Guillaume Chapuy
Keyword(s):  
Generating Function ◽  
Generating Functions ◽  
Recurrence Formula ◽  
Kp Equation ◽  
History Of ◽  
International Audience ◽  
The One ◽  
Fixed Genus

International audience We establish a simple recurrence formula for the number $Q_g^n$ of rooted orientable maps counted by edges and genus. The formula is a consequence of the KP equation for the generating function of bipartite maps, coupled with a Tutte equation, and it was apparently unnoticed before. It gives by far the fastest known way of computing these numbers, or the fixed-genus generating functions, especially for large $g$. The formula is similar in look to the one discovered by Goulden and Jackson for triangulations (although the latter does not rely on an additional Tutte equation). Both of them have a very combinatorial flavour, but finding a bijective interpretation is currently unsolved - should such an interpretation exist, the history of bijective methods for maps would tend to show that the case treated here is easier to start with than the one of triangulations. Nous établissons une formule de récurrence simple pour le nombre $Q_g^n$ de cartes enracinées de genre $g$ à $n$ arêtes. Cette formule est une conséquence relativement simple du fait que la série génératrice des cartes biparties est une solution de l’équation KP et d’une équation de Tutte, et elle était apparemment passée inaperçue jusque là. Elle donne de loin le moyen le plus rapide pour calculer ces nombres, en particulier quand $g$est grand. La formule est d’apparence similaire à celle découverte par Goulden et Jackson pour les triangulations (quoique cette dernière ne repose pas sur une équation de Tutte additionnelle). Les deux formules ont une saveur très combinatoire, mais trouver une interprétation bijective reste un problème ouvert – mais si une telle interprétation existe, l’histoire des méthodes bijectives pour les cartes tendrait à montrer que le cas traité ici est plus facile pour commencer que celui des triangulations.

scholarly journals A direct bijective proof of the hook-length formula

1997 ◽  
Vol Vol. 1 ◽  
Author(s):  
Jean-Christophe Novelli ◽  
Igor Pak ◽  
Alexander V. Stoyanovskii
Keyword(s):  
Young Tableaux ◽  
Hook Length ◽  
Bijective Proof ◽  
International Audience ◽  
Standard Young Tableaux

International audience This paper presents a new proof of the hook-length formula, which computes the number of standard Young tableaux of a given shape. After recalling the basic definitions, we present two inverse algorithms giving the desired bijection. The next part of the paper presents the proof of the bijectivity of our construction. The paper concludes with some examples.

scholarly journals Enumerating alternating tree families

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Markus Kuba ◽  
Alois Panholzer
Keyword(s):  
Nous Obtenons ◽  
Asymptotic Results ◽  
Root Node ◽  
Ordered Trees ◽  
Exponential Generating Function ◽  
Random Node ◽  
Enumeration Problems ◽  
International Audience ◽  
Nous Examinons ◽  
Labelled Trees

International audience We study two enumeration problems for $\textit{up-down alternating trees}$, i.e., rooted labelled trees $T$, where the labels $ v_1, v_2, v_3, \ldots$ on every path starting at the root of $T$ satisfy $v_1 < v_2 > v_3 < v_4 > \cdots$. First we consider various tree families of interest in combinatorics (such as unordered, ordered, $d$-ary and Motzkin trees) and study the number $T_n$ of different up-down alternating labelled trees of size $n$. We obtain for all tree families considered an implicit characterization of the exponential generating function $T(z)$ leading to asymptotic results of the coefficients $T_n$ for various tree families. Second we consider the particular family of up-down alternating labelled ordered trees and study the influence of such an alternating labelling to the average shape of the trees by analyzing the parameters $\textit{label of the root node}$, $\textit{degree of the root node}$ and $\textit{depth of a random node}$ in a random tree of size $n$. This leads to exact enumeration results and limiting distribution results. Nous étudions deux problèmes de dénombrement d'$\textit{arbres alternés haut-bas}$ : par définition, ce sont des arbres munis d'une racine et tels que, pour tout chemin partant de la racine, les valeurs $v_1,v_2,v_3,\ldots$ associées aux nœuds du chemin satisfont la chaîne d'inégalités $v_1 < v_2 > v_3 < v_4 > \cdots$. D'une part, nous considérons diverses familles d'arbres intéressantes du point de vue de l'analyse combinatoire (comme les arbres de Motzkin, les arbres non ordonnés, ordonnés et $d$-aires) et nous étudions pour chaque famille le nombre total $T_n$ d'arbres alternés haut-bas de taille $n$. Nous obtenons pour toutes les familles d'arbres considérées une caractérisation implicite de la fonction génératrice exponentielle $T(z)$. Cette caractérisation nous renseigne sur le comportement asymptotique des coefficients $T_n$ de plusieurs familles d'arbres. D'autre part, nous examinons le cas particulier de la famille des arbres ordonnés : nous étudions l'influence de l'étiquetage alterné haut-bas sur l'allure générale de ces arbres en analysant trois paramètres dans un arbre aléatoire (valeur de la racine, degré de la racine et profondeur d'un nœud aléatoire). Nous obtenons alors des résultats en terme de distribution limite, mais aussi de dénombrement exact.

Interpretation of generalized matrix functions via geometric measure of quantum entanglement

2015 ◽  
Vol 13 (07) ◽  
pp. 1550049
Author(s):  
Haixia Chang ◽  
Vehbi E. Paksoy ◽  
Fuzhen Zhang
Keyword(s):  
Representation Theory ◽  
Symmetric Group ◽  
Quantum Entanglement ◽  
Geometric Interpretation ◽  
Matrix Functions ◽  
Irreducible Characters ◽  
Geometric Measure ◽  
Generalized Matrix

By using representation theory and irreducible characters of the symmetric group, we introduce character dependent states and study their entanglement via geometric measure. We also present a geometric interpretation of generalized matrix functions via this entanglement analysis.

SYMMETRY CLASSES OF POLYNOMIALS ASSOCIATED WITH THE DICYCLIC GROUP

2013 ◽  
Vol 06 (03) ◽  
pp. 1350033 ◽  
Author(s):  
Yousef Zamani ◽  
Esmaeil Babaei
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Quaternion Group ◽  
Irreducible Characters ◽  
Symmetry Classes ◽  
Generalized Quaternion Group ◽  
Generalized Quaternion

In this paper, we obtain the dimensions of symmetry classes of polynomials with respect to the irreducible characters of the dicyclic group as a subgroup of the full symmetric group. Then we discuss the existence of o-basis of these classes. In particular, the existence of o-basis of symmetry classes of polynomials with respect to the irreducible characters of the generalized quaternion group are concluded.

scholarly journals Generalized Pattern Avoidance Condition for the Wreath Product of Cyclic Groups with Symmetric Groups

2013 ◽  
Vol 2013 ◽  
pp. 1-17
Author(s):  
Sergey Kitaev ◽  
Jeffrey Remmel ◽  
Manda Riehl
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Wreath Product ◽  
Cyclic Group ◽  
Generating Functions ◽  
Symmetric Groups ◽  
Pattern Avoidance ◽  
Catalan Numbers ◽  
Cyclic Groups ◽  
Bijective Proof ◽  
Avoidance Condition

We continue the study of the generalized pattern avoidance condition for Ck≀Sn, the wreath product of the cyclic group Ck with the symmetric group Sn, initiated in the work by Kitaev et al., In press. Among our results, there are a number of (multivariable) generating functions both for consecutive and nonconsecutive patterns, as well as a bijective proof for a new sequence counted by the Catalan numbers.

scholarly journals A bijective proof of Macdonald's reduced word formula

2020 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 28th... ◽  
Author(s):  
Sara Billey ◽  
Alexander Holroyd ◽  
Benjamin Young
Keyword(s):  
Reduced Word ◽  
Bijective Proof ◽  
International Audience ◽  
Principal Specialization

International audience We describe a bijective proof of Macdonald's reduced word identity using pipe dreams and Little's bumping algorithm. The proof extends to a principal specialization of the identity due to Fomin and Stanley. Our bijective tools also allow us to address a problem posed by Fomin and Kirillov from 1997, using work of Wachs, Lenart and Serrano- Stump.

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