scholarly journals A preorder-free construction of the Kazhdan-Lusztig representations of Hecke algebras $H_n(q)$ of symmetric groups

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Charles Buehrle ◽  
Mark Skandera
Keyword(s):  
Polynomial Ring ◽  
Hecke Algebras ◽  
Symmetric Groups ◽  
Free Construction ◽  
International Audience ◽  
Quantum Analog ◽  
Quantum Polynomial ◽  
Original Construction ◽  
Nous Utilisons ◽  
Invent Math

International audience We use a quantum analog of the polynomial ring $\mathbb{Z}[x_{1,1},\ldots, x_{n,n}]$ to modify the Kazhdan-Lusztig construction of irreducible $H_n(q)$-modules. This modified construction produces exactly the same matrices as the original construction in [$\textit{Invent. Math.}$ $\textbf{53}$ (1979)], but does not employ the Kazhdan-Lusztig preorders. Our main result is dependent on new vanishing results for immanants in the quantum polynomial ring. Nous utilisons un analogue quantique de l'anneau $\mathbb{Z}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$ pour modifier la construction Kazhdan-Lusztig des modules-$H_n(q)$ irréductibles. Cette construction modifiée produit exactement les mêmes matrices que la construction originale dans [$\textit{Invent. Math.}$ $\textbf{53}$ (1979)], mais sans employer les préordres de Kazhdan-Lusztig. Notre résultat principal dépend de nouveaux résultats de disparition pour des immanants dans l'anneau polynôme de quantique.

scholarly journals A preorder-free construction of the Kazhdan-Lusztig representations of $S_n$, with connections to the Clausen representations

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Charles Buehrle ◽  
Mark Skandera
Keyword(s):  
Polynomial Ring ◽  
Transition Matrices ◽  
Free Construction ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Original Construction ◽  
Nous Utilisons ◽  
Invent Math

International audience We use the polynomial ring $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$ to modify the Kazhdan-Lusztig construction of irreducible $S_n$-modules. This modified construction produces exactly the same matrices as the original construction in [$\textit{Invent. Math}$ $\mathbf{53}$ (1979)], but does not employ the Kazhdan-Lusztig preorders. We also show that our modules are related by unitriangular transition matrices to those constructed by Clausen in [$\textit{J. Symbolic Comput.}$ $\textbf{11}$ (1991)]. This provides a $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$-analog of results of Garsia-McLarnan in [$\textit{Adv. Math.}$ $\textbf{69}$ (1988)]. Nous utilisons l'anneau $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$ pour modifier la construction Kazhdan-Lusztig des modules-$S_n$ irréductibles dans $\mathbb{C}[S_n]$. Cette construction modifiée produit exactement les mêmes matrices que la construction originale dans [$\textit{Invent. Math}$ $\mathbf{53}$ (1979)], mais sans employer les préordres de Kazhdan-Lusztig. Nous montrons aussi que nos modules sont reliés par des matrices unitriangulaires aux modules construits par Clausen dans [$\textit{J. Symbolic Comput.}$ $\textbf{11}$ (1991)]. Ce résultat donne un $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$-analogue des résultats de Garsia-McLarnan dans [$\textit{Adv. Math.}$ $\textbf{69}$ (1988)].

scholarly journals An immanant formulation of the dual canonical basis of the quantum polynomial ring

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Mark Skandera ◽  
Justin Lambright
Keyword(s):  
Polynomial Ring ◽  
Canonical Basis ◽  
Polynomial Rings ◽  
Dual Canonical Basis ◽  
International Audience ◽  
Quantum Polynomial ◽  
Lusztig Polynomials

International audience We show that dual canonical basis elements of the quantum polynomial ring in $n^2$ variables can be expressed as specializations of dual canonical basis elements of $0$-weight spaces of other quantum polynomial rings. Our results rely upon the natural appearance in the quantum polynomial ring of Kazhdan-Lusztig polynomials, $R$-polynomials, and certain single and double parabolic generalizations of these. Nous démontrons que des éléments de la base canonique duale de l'anneau quantique des polynômes en $n^2$ variables peuvent s'exprimer en termes des spécialisations d'éléments de la base canonique duale des espaces de poids $0$ d'autres anneaux quantiques. Nos résultats dépendent fortement de l'apparition naturelle des polynômes de Kazhdan-Lusztig, des $R$-polynômes, et de certaines généralisations simplement et doublement paraboliques de ces polynômes dans l'anneau quantique.

scholarly journals Combinatorial formulas for double parabolic R-polynomials

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Justin Lambright ◽  
Mark Skandera
Keyword(s):  
Polynomial Ring ◽  
Hecke Algebra ◽  
Combinatorial Interpretations ◽  
Combinatorial Formulas ◽  
International Audience ◽  
Quantum Polynomial

International audience The well-known R-polynomials in ℤ[q], which appear in Hecke algebra computations, are closely related to certain modified R-polynomials in ℕ[q] whose coefficients have simple combinatorial interpretations. We generalize this second family of polynomials, providing combinatorial interpretations for expressions arising in a much broader class of computations. In particular, we extend results of Brenti, Deodhar, and Dyer to new settings which include parabolic Hecke algebra modules and the quantum polynomial ring. Les bien connues polynômes-R en ℤ[q], qui apparaissent dans les calcules d'algébre de Hecke, sont relationés à certaines polynômes-R modifiés en ℕ[q], dont les coefficients ont simples interprétations combinatoires. Nous généralisons cette deuxième famille de polynômes, fournissant des interprétations combinatoires pour les expressions qui se posent dans une catégorie beaucoup plus vaste de calculs. En particulier, nous étendons des résultats de Brenti, Deodhar, et Dyer à des situations nouvelles, qui comprennent modules paraboliques pour l'algébre de Hecke, et l'anneau des polynômes quantiques.

scholarly journals Dominant and global dimension of blocks of quantised Schur algebras

2021 ◽  
Author(s):  
Ming Fang ◽  
Wei Hu ◽  
Steffen Koenig
Keyword(s):  
Hecke Algebras ◽  
Symmetric Groups ◽  
Global Dimension ◽  
Group Algebras ◽  
Dominant Dimension ◽  
Schur Algebras ◽  
Homological Dimensions ◽  
Weyl Duality

AbstractGroup algebras of symmetric groups and their Hecke algebras are in Schur-Weyl duality with classical and quantised Schur algebras, respectively. Two homological dimensions, the dominant dimension and the global dimension, of the indecomposable summands (blocks) of these Schur algebras S(n, r) and $$S_q(n,r)$$ S q ( n , r ) with $$n \geqslant r$$ n ⩾ r are determined explicitly, using a result on derived invariance in Fang, Hu and Koenig (J Reine Angew Math 770:59–85, 2021).

The consistency problem for positive comprehension principles

1989 ◽  
Vol 54 (4) ◽  
pp. 1401-1418 ◽  
Author(s):  
M. Forti ◽  
R. Hinnion
Keyword(s):  
Set Theory ◽  
Difficult Problem ◽  
Large Cardinal ◽  
Positive Theory ◽  
Construction Principle ◽  
Short Summary ◽  
Free Construction ◽  
Unpublished Thesis ◽  
Consistency Problem ◽  
Original Construction

Since Gilmore showed that some theory with a positive comprehension scheme is consistent when the axiom of extensionality is dropped and inconsistent with it (see [1] and [2]), the problem of the consistency of various positive comprehension schemes has been investigated. We give here a short classification, which shows clearly the importance of the axiom of extensionality and of the abstraction operator in these consistency problems. The most difficult problem was to show the consistency of the comprehension scheme for positive formulas, with extensionality but without abstraction operator. In his unpublished thesis, Set theory in which the axiom of foundation fails [3], Malitz solved partially this problem but he needed to assume the existence of some unusual kind of large cardinal; as his original construction is very interesting and his thesis is unpublished, we give a short summary of it. M. Forti solved the problem completely by working in ZF with a free-construction principle (sometimes called an anti-foundation axiom), instead of ZF with the axiom of foundation, as Malitz did.This permits one to obtain the consistency of this positive theory, relative to ZF. In his general investigations about “topological set theories” (to be published), E. Weydert has independently proved the same result. The authors are grateful to the Mathematisches Forshungsinstitut Oberwolfach for giving them the opportunity of discussing these subjects and meeting E. Weydert during the meeting “New Foundations”, March 1–7, 1987.

scholarly journals Counting Quiver Representations over Finite Fields Via Graph Enumeration

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Geir Helleloid ◽  
Fernando Rodriguez-Villegas
Keyword(s):  
Finite Field ◽  
Finite Fields ◽  
Quiver Representations ◽  
Dimension Vector ◽  
Compte Rendu ◽  
Isomorphism Classes ◽  
International Audience ◽  
Derivatives Of ◽  
Nous Utilisons ◽  
Complete Account

International audience Let $\Gamma$ be a quiver on $n$ vertices $v_1, v_2, \ldots , v_n$ with $g_{ij}$ edges between $v_i$ and $v_j$, and let $\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n$. Hua gave a formula for $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$, the number of isomorphism classes of absolutely indecomposable representations of $\Gamma$ over the finite field $\mathbb{F}_q$ with dimension vector $\boldsymbol{\alpha}$. We use Hua's formula to show that the derivatives of $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$ with respect to $q$, when evaluated at $q = 1$, are polynomials in the variables $g_{ij}$, and we can compute the highest degree terms in these polynomials. The formulas for these coefficients depend on the enumeration of certain families of connected graphs. This note simply gives an overview of these results; a complete account of this research is available on the arXiv and has been submitted for publication. Soit $\Gamma$ un carquois sur $n$ sommets $ v_1, v_2, \ldots , v_n$ avec $g_{ij}$ arêtes entre $v_i$ et $v_j$, et soit $\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n$. Hua a donné une formule pour $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$, le nombre de classes d'isomorphisme absolument indécomposables de représentations de $\Gamma$ sur le corps fini $\mathbb{F}_q$ avec vecteur de dimension $\boldsymbol{\alpha}$. Nous utilisons la formule de Hua pour montrer que les dérivées de $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$ par rapport à $q$, alors évaluée à $q=1$, sont des polynômes dans les variables $g_{ij}$, et on peut calculer les termes de plus haut degré de ces polynômes. Les formules pour ces coefficients dépendent de l'énumération de certaines familles de graphes connectés. Cette note donne simplement un aperçu de ces résultats, un compte rendu complet de cette recherche est disponible sur arXiv et a été soumis pour publication.

scholarly journals The short toric polynomial

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Gábor Hetyei
Keyword(s):  
Lower Bound ◽  
Reflection Principle ◽  
Lattice Path ◽  
Simple Polytope ◽  
Independent Form ◽  
International Audience ◽  
Bound Theorem ◽  
Lattice Path Enumeration ◽  
Nous Utilisons ◽  
Eulerian Poset

International audience We introduce the short toric polynomial associated to a graded Eulerian poset. This polynomial contains the same information as Stanley's pair of toric polynomials, but allows different algebraic manipulations. Stanley's intertwined recurrence may be replaced by a single recurrence, in which the degree of the discarded terms is independent of the rank. A short toric variant of the formula by Bayer and Ehrenborg, expressing the toric h-vector in terms of the cd-index, may be stated in a rank-independent form, and it may be shown using weighted lattice path enumeration and the reflection principle. We use our techniques to derive a formula expressing the toric h-vector of a dual simplicial Eulerian poset in terms of its f-vector. This formula implies Gessel's formula for the toric h-vector of a cube, and may be used to prove that the nonnegativity of the toric h-vector of a simple polytope is a consequence of the Generalized Lower Bound Theorem holding for simplicial polytopes. Nous introduisons le polynôme torique court associé à un ensemble ordonné Eulérien. Ce polynôme contient la même information que le couple de polynômes toriques de Stanley, mais il permet des manipulations algébriques différentes. La récurrence entrecroisée de Stanley peut être remplacée par une seule récurrence dans laquelle le degré des termes écartés est indépendant du rang. La variante torique courte de la formule de Bayer et Ehrenborg, qui exprime le vecteur torique d'un ensemble ordonné Eulérien en termes de son cd-index, est énoncée sous une forme qui ne dépend pas du rang et qui peut être démontrée en utilisant une énumération des chemins pondérés et le principe de réflexion. Nous utilisons nos techniques pour dériver une formule exprimant le vecteur h-torique d'un ensemble ordonné Eulérien dont le dual est simplicial, en termes de son f-vecteur. Cette formule implique la formule de Gessel pour le vecteur h-torique d'un cube, et elle peut être utilisée pour démontrer que la positivité du vecteur h-torique d'un polytope simple est une conséquence du Théorème de la Borne Inférieure Généralisé appliqué aux polytopes simpliciaux.

scholarly journals Dual combinatorics of zonal polynomials

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Valentin Féray ◽  
Piotr Sniady
Keyword(s):  
Irreducible Character ◽  
Symmetric Functions ◽  
Symmetric Groups ◽  
Combinatorial Formula ◽  
Zonal Polynomials ◽  
Power Sums ◽  
Power Sum ◽  
Recent Developments ◽  
International Audience ◽  
Special Case

International audience In this paper we establish a new combinatorial formula for zonal polynomials in terms of power-sums. The proof relies on the sign-reversing involution principle. We deduce from it formulas for zonal characters, which are defined as suitably normalized coefficients in the expansion of zonal polynomials in terms of power-sum symmetric functions. These formulas are analogs of recent developments on irreducible character values of symmetric groups. The existence of such formulas could have been predicted from the work of M. Lassalle who formulated two positivity conjectures for Jack characters, which we prove in the special case of zonal polynomials. Dans cet article, nous établissons une nouvelle formule combinatoire pour les polynômes zonaux en fonction des fonctions puissance. La preuve utilise le principe de l'involution changeant les signes. Nous en déduisons des formules pour les caractères zonaux, qui sont définis comme les coefficients des polynômes zonaux écrits sur la base des fonctions puissance, normalisés de manière appropriée. Ces formules sont des analogues de développements récents sur les caractères du groupe symétrique. L'existence de telles formules aurait pu être prédite à partir des travaux de M. Lassalle, qui a proposé deux conjectures de positivité sur les caractères de Jack, que nous prouvons dans le cas particulier des polynômes zonaux.

scholarly journals The cluster and dual canonical bases of Z [x_11, ..., x_33] are equal

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Brendon Rhoades
Keyword(s):  
Quantum Group ◽  
Polynomial Ring ◽  
Geometric Model ◽  
Cluster Algebra ◽  
Canonical Basis ◽  
The Other ◽  
Monomial Basis ◽  
Dual Canonical Basis ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience The polynomial ring $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ has a basis called the dual canonical basis whose quantization facilitates the study of representations of the quantum group $U_q(\mathfrak{sl}3(\mathbb{C}))$. On the other hand, $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ inherits a basis from the cluster monomial basis of a geometric model of the type $D_4$ cluster algebra. We prove that these two bases are equal. This extends work of Skandera and proves a conjecture of Fomin and Zelevinsky. This also provides an explicit factorization of the dual canonical basis elements of $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ into irreducible polynomials. L'anneau de polynômes $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ a une base appelée base duale canonique, et dont une quantification facilite l'étude des représentations du groupe quantique $U_q(\mathfrak{sl}3(\mathbb{C}))$. D'autre part, $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ admet une base issue de la base des monômes d'amas de l'algèbre amassée géométrique de type $D_4$. Nous montrons que ces deux bases sont égales. Ceci prolonge les travaux de Skandera et démontre une conjecture de Fomin et Zelevinsky. Ceci fournit également une factorisation explicite en polynômes irréductibles des éléments de la base duale canonique de $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ .

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