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A combinatorial expression for the coefficient of the Schur function $s_{\lambda}$ in the expansion of the plethysm $p_{n/d}^d \circ s_{\mu}$ is given for all $d$ dividing $n$ for the cases in which $n=2$ or $\lambda$ is rectangular. In these cases, the coefficient $\langle p_{n/d}^d \circ s_{\mu}, s_{\lambda} \rangle$ is shown to count, up to sign, the number of fixed points of an $\langle s_{\mu}^n, s_{\lambda} \rangle$-element set under the $d^e$ power of an order $n$ cyclic action. If $n=2$, the action is the Schützenberger involution on semistandard Young tableaux (also known as evacuation), and, if $\lambda$ is rectangular, the action is a certain power of Schützenberger and Shimozono's <i>jeu-de-taquin</i> promotion.This work extends results of Stembridge and Rhoades linking fixed points of the Schützenberger actions to ribbon tableaux enumeration. The conclusion for the case $n=2$ is equivalent to the domino tableaux rule of Carré and Leclerc for discriminating between the symmetric and antisymmetric parts of the square of a Schur function.
Une expression combinatoire pour le coefficient de la fonction de Schur $s_{\lambda}$ dans l’expansion du pléthysme $p_{n/d}^d \circ s_{\mu}$ est donné pour tous $d$ que disent $n$, dans les cas où $n=2$, ou $\lambda$ est rectangulaire. Dans ces cas, le coefficient $\langle p_{n/d}^d \circ s_{\mu}, s_{\lambda} \rangle$ se montre à compter, où l’on ignore le signe, le nombre des point fixés d’un ensemble de $\langle s_{\mu}^n, s_{\lambda} \rangle$ éléments sous la puissance $d^e$ d’une action cyclique de l’ordre $n$. Si $n=2$, l’action est l’involution de Schützenberger sur les tableaux semi-standard de Young (aussi connu sous le nom des évacuations), et si $\lambda$ est rectangulaire, l’action est une certaine puissance de l’avancement jeu-de-taquin de Schützenberger et Shimozono.Ce travail étend les résultats de Stembridge et Rhoades, liant les point fixés des actions de Schützenberger aux tableaux de ruban. Pour le cas $n=2$ , la conclusion est équivalent à la règle des tableaux de dominos de Carré et Leclerc, qui distingue entre les parties symétriques et asymétriques du carré d’une fonction de Schur.
Cyclic sieving for longest reduced words in the hyperoctahedral group