scholarly journals Tamari Lattices for Parabolic Quotients of the Symmetric Group

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Henri Mühle ◽  
Nathan Williams
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Coxeter Groups ◽  
Weak Order ◽  
Set Partitions ◽  
Tamari Lattice ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Tamari Lattices

International audience We present a generalization of the Tamari lattice to parabolic quotients of the symmetric group. More precisely, we generalize the notions of 231-avoiding permutations, noncrossing set partitions, and nonnesting set partitions to parabolic quotients, and show bijectively that these sets are equinumerous. Furthermore, the restriction of weak order on the parabolic quotient to the parabolic 231-avoiding permutations is a lattice quotient. Lastly, we suggest how to extend these constructions to all Coxeter groups. Nous présentons une généralisation du treillis de Tamari aux quotients paraboliques du groupe symétrique. Plus précisément, nous généralisons les notions de permutations qui évitent le motif 231, les partitions non-croisées, et les partitions non-emboîtées aux quotients paraboliques, et nous montrons de façon bijective que ces ensembles sont équipotents. En restreignant l’ordre faible du quotient parabolique aux permutations paraboliques qui évitent le motif 231, on obtient un quotient de treillis d’ordre faible. Enfin, nous suggérons comment étendre ces constructions à tous les groupes de Coxeter.

scholarly journals An extension of Tamari lattices

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Louis-François Préville-Ratelle ◽  
Xavier Viennot
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Binary Tree ◽  
Prime Numbers ◽  
Binary Trees ◽  
Square Lattice ◽  
Reverse Order ◽  
Tamari Lattice ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Tamari Lattices

International audience For any finite path $v$ on the square lattice consisting of north and east unit steps, we construct a poset Tam$(v)$ that consists of all the paths lying weakly above $v$ with the same endpoints as $v$. For particular choices of $v$, we recover the traditional Tamari lattice and the $m$-Tamari lattice. In particular this solves the problem of extending the $m$-Tamari lattice to any pair $(a; b)$ of relatively prime numbers in the context of the so-called rational Catalan combinatorics.For that purpose we introduce the notion of canopy of a binary tree and explicit a bijection between pairs $(u; v)$ of paths in Tam$(v)$ and binary trees with canopy $v$. Let $(\overleftarrow{v})$ be the path obtained from $v$ by reading the unit steps of $v$ in reverse order and exchanging east and north steps. We show that the poset Tam$(v)$ is isomorphic to the dual of the poset Tam$(\overleftarrow{v})$ and that Tam$(v)$ is isomorphic to the set of binary trees having the canopy $v$, which is an interval of the ordinary Tamari lattice. Thus the usual Tamari lattice is partitioned into (smaller) lattices Tam$(v)$, where the $v$’s are all the paths of length $n-1$ on the square lattice.We explain possible connections between the poset Tam$(v)$ and (the combinatorics of) the generalized diagonal coinvariant spaces of the symmetric group. Pour tout chemin $v$ sur le réseau carré formé de pas Nord et Est, nous construisons un ensemble partiellement ordonné Tam $(v)$ dont les éléments sont les chemins au dessus de $v$ et ayant les mêmes extrémités. Pour certains choix de $v$ nous retrouvons le classique treillis de Tamari ainsi que son extension $m$-Tamari. En particulier nous résolvons le problème d’étendre le treillis $m$-Tamari à toute paire $(a; b)$ d’entiers premiers entre eux dans le contexte de la combinatoire rationnelle de Catalan.Pour ceci nous introduisons la notion de canopée d’un arbre binaire et explicitons une bijection entre les paires $(u; v)$ de chemins dans Tam$(v)$ et les arbres binaires ayant la canopée $v$. Soit $(\overleftarrow{v})$ le chemin obtenu en lisant les pas en ordre inverse et en échangeant les pas Est et Nord. Nous montrons que Tam$(v)$ est isomorphe au dual de Tam$(\overleftarrow{v})$ et que Tam$(v)$ est isomorphe à l’ensemble des arbres binaires ayant la canopée $v$, qui est un intervalle du treillis de Tamari ordinaire. Ainsi le traditionnel treillis de Tamari admet une partition en plus petits treillis Tam$(v)$, où les $v$ sont tous les chemins de longueur $n-1$ sur le réseau carré. Enfin nous explicitons les liens possibles entre l’ensemble ordonné Tam$(v)$ et (la combinatoire des) espaces diagonaux coinvariants généralisés du groupe symétrique.

scholarly journals Noncrossing Arc Diagrams, Tamari Lattices, and Parabolic Quotients of the Symmetric Group

2021 ◽  
Author(s):  
Henri Mühle
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Partial Order ◽  
Structural Investigation ◽  
Canonical Representation ◽  
Weak Order ◽  
Noncrossing Partitions ◽  
Tamari Lattice ◽  
Semidistributive Lattice ◽  
Tamari Lattices

AbstractOrdering permutations by containment of inversion sets yields a fascinating partial order on the symmetric group: the weak order. This partial order is, among other things, a semidistributive lattice. As a consequence, every permutation has a canonical representation as a join of other permutations. Combinatorially, these canonical join representations can be modeled in terms of arc diagrams. Moreover, these arc diagrams also serve as a model to understand quotient lattices of the weak order. A particularly well-behaved quotient lattice of the weak order is the well-known Tamari lattice, which appears in many seemingly unrelated areas of mathematics. The arc diagrams representing the members of the Tamari lattices are better known as noncrossing partitions. Recently, the Tamari lattices were generalized to parabolic quotients of the symmetric group. In this article, we undertake a structural investigation of these parabolic Tamari lattices, and explain how modified arc diagrams aid the understanding of these lattices.

scholarly journals On a Subposet of the Tamari Lattice

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Sebastian A. Csar ◽  
Rik Sengupta ◽  
Warut Suksompong
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Partial Order ◽  
Tamari Lattice ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
The Common ◽  
Binary Functions

International audience We discuss some properties of a subposet of the Tamari lattice introduced by Pallo (1986), which we call the comb poset. We show that three binary functions that are not well-behaved in the Tamari lattice are remarkably well-behaved within an interval of the comb poset: rotation distance, meets and joins, and the common parse words function for a pair of trees. We relate this poset to a partial order on the symmetric group studied by Edelman (1989). Nous discutons d'un subposet du treillis de Tamari introduit par Pallo. Nous appellons ce poset le comb poset. Nous montrons que trois fonctions binaires qui ne se comptent pas bien dans le trellis de Tamari se comptent bien dans un intervalle du comb poset : distance dans le trellis de Tamari, le supremum et l'infimum et les parsewords communs. De plus, nous discutons un rapport entre ce poset et un ordre partiel dans le groupe symétrique étudié par Edelman.

scholarly journals Extending the weak order on Coxeter groups

2020 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 28th... ◽  
Author(s):  
Francois Viard
Keyword(s):  
Coxeter Groups ◽  
Weak Order ◽  
Complete Lattices ◽  
Tamari Lattice ◽  
New Family ◽  
International Audience

International audience We introduce a new family of complete lattices, arising from a digraph together with a valuation on its vertices and generalizing a previous construction of the author. We then apply this to the study of two long-standing conjectures of Dyer, and we provide a description of the Tamari lattice with this theory.

scholarly journals The topology of restricted partition posets

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Richard Ehrenborg ◽  
JiYoon Jung
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Homotopy Type ◽  
Integer Partitions ◽  
Order Complex ◽  
Specht Module ◽  
Set Partitions ◽  
Nous Montrons ◽  
Restricted Partition ◽  
International Audience ◽  
Border Strip

International audience For each composition $\vec{c}$ we show that the order complex of the poset of pointed set partitions $Π ^• _{\vec{c}}$ is a wedge of $β\vec{c}$ spheres of the same dimensions, where $β\vec{c}$ is the number of permutations with descent composition ^$\vec{c}$. Furthermore, the action of the symmetric group on the top homology is isomorphic to the Specht module $S^B$ where $B$ is a border strip associated to the composition $\vec{c}$. We also study the filter of pointed set partitions generated by a knapsack integer partitions and show the analogous results on homotopy type and action on the top homology. Pour chaque composition $\vec{c}$ nous montrons que le complexe simplicial des chaînes de l'ensemble ordonné $Π ^• _{\vec{c}}$ des partitions pointées d'un ensemble est un bouquet de $β\vec{c}$ sphères de même dimension, où $β\vec{c}$ est le nombre de permutations ayant la composition de descentes $\vec{c}$. De plus, l'action du groupe symétrique sur le groupe d'homologie de degré maximum est isomorphe au module de Specht $S^B$ où $B$ est la bande frontalière associée à la composition $\vec{c}$. Nous étudions aussi le filtre des partitions pointées d'un ensemble, engendré par des partitions d'entiers de type "sac à dos'' et nous démontrons des résultats analogues pour le type d'homotopie et pour l'action sur le groupe d'homologie de degré maximum.

scholarly journals A lattice on decreasing trees : the metasylvester lattice

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Viviane Pons
Keyword(s):  
Combinatorial Structure ◽  
Combinatorial Properties ◽  
Tamari Lattice ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Tamari Lattices ◽  
Labelled Trees

International audience We introduce a new combinatorial structure: the metasylvester lattice on decreasing trees. It appears in the context of the $m$-Tamari lattices and other related $m$-generalizations. The metasylvester congruence has been recently introduced by Novelli and Thibon. We show that it defines a sublattice of the $m$-permutations where elements can be represented by decreasing labelled trees: the metasylvester lattice. We study the combinatorial properties of this new structure. In particular, we give different realizations of the lattice. The $m$-Tamari lattice is by definition a sublattice of our newly defined metasylvester lattice. It leads us to a new realization of the $m$-Tamari lattice, using certain chains of the classical Tamari lattice. Nous définissons une nouvelle structure combinatoire : le treillis métasylvestre sur les arbres décroissants. Il apparaît dans le contexte des treillis $m$-Tamari et des autres $m$-généralisations. La congruence métasylvestre a été introduite récemment par Novelli et Thibon. Nous montrons qu’elle définit un sous-treillis du treillis sur les $m$-permutations où les éléments sont représentés par des arbres étiquetés décroissants : le treillis métasylvestre. Nous étudions les propriétés combinatoires de ce treillis ainsi que des classes métasylvestres. En particulier, nous en donnons plusieurs réalisations. Le treillis de $m$-Tamari est par définition un sous-treillis du treillis métasylvestre. Cela nous amène à une nouvelle réalisation du treillis de$m$-Tamari par des chaines du treillis de Tamari classiques.

scholarly journals Tamari Lattices for Parabolic Quotients of the Symmetric Group

10.37236/7844 ◽  
2019 ◽  
Vol 26 (4) ◽  
Author(s):  
Henri Mühle ◽  
Nathan Williams
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Coxeter Group ◽  
Main Ingredient ◽  
Set Partitions ◽  
Tamari Lattice ◽  
Finite Coxeter Group ◽  
Tamari Lattices

We generalize the Tamari lattice by extending the notions of $231$-avoiding permutations, noncrossing set partitions, and nonnesting set partitions to parabolic quotients of the symmetric group $\mathfrak{S}_{n}$.  We show bijectively that these three objects are equinumerous.  We show how to extend these constructions to parabolic quotients of any finite Coxeter group.  The main ingredient is a certain aligned condition of inversion sets; a concept which can in fact be generalized to any reduced expression of any element in any (not necessarily finite) Coxeter group.

scholarly journals How to get the weak order out of a digraph ?

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Francois Viard
Keyword(s):  
Wreath Product ◽  
Symmetric Function ◽  
Coxeter Groups ◽  
Symmetric Functions ◽  
Weak Order ◽  
Möbius Function ◽  
Mobius Function ◽  
Acyclic Digraph ◽  
International Audience

International audience We construct a poset from a simple acyclic digraph together with a valuation on its vertices, and we compute the values of its Möbius function. We show that the weak order on Coxeter groups $A$<sub>$n-1$</sub>, $B$<sub>$n$</sub>, $Ã$<sub>$n$</sub>, and the flag weak order on the wreath product &#8484;<sub>$r$</sub> &#8768; $S$<sub>$n$</sub> introduced by Adin, Brenti and Roichman (2012), are special instances of our construction. We conclude by briefly explaining how to use our work to define quasi-symmetric functions, with a special emphasis on the $A$<sub>$n-1$</sub> case, in which case we obtain the classical Stanley symmetric function. On construit une famille d’ensembles ordonnés à partir d’un graphe orienté, simple et acyclique munit d’une valuation sur ses sommets, puis on calcule les valeurs de leur fonction de Möbius respective. On montre que l’ordre faible sur les groupes de Coxeter $A$<sub>$n-1$</sub>, $B$<sub>$n$</sub>, $Ã$<sub>$n$</sub>, ainsi qu’une variante de l’ordre faible sur les produits en couronne &#8484;<sub>$r$</sub> &#8768; $S$<sub>$n$</sub> introduit par Adin, Brenti et Roichman (2012), sont des cas particuliers de cette construction. On conclura en expliquant brièvement comment ce travail peut-être utilisé pour définir des fonction quasi-symétriques, en insistant sur l’exemple de l’ordre faible sur $A$<sub>$n-1$</sub> où l’on obtient les séries de Stanley classiques.

scholarly journals Arc-Coloured Permutations

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Lily Yen
Keyword(s):  
Generating Functions ◽  
Joint Distribution ◽  
Rational Functions ◽  
Set Partitions ◽  
Combinatorial Objects ◽  
Crossing Numbers ◽  
Rational Series ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Labelled Graphs

International audience The equidistribution of many crossing and nesting statistics exists in several combinatorial objects like matchings, set partitions, permutations, and embedded labelled graphs. The involutions switching nesting and crossing numbers for set partitions given by Krattenthaler, also by Chen, Deng, Du, Stanley, and Yan, and for permutations given by Burrill, Mishna, and Post involved passing through tableau-like objects. Recently, Chen and Guo for matchings, and Marberg for set partitions extended the result to coloured arc annotated diagrams. We prove that symmetric joint distribution continues to hold for arc-coloured permutations. As in Marberg's recent work, but through a different interpretation, we also conclude that the ordinary generating functions for all j-noncrossing, k-nonnesting, r-coloured permutations according to size n are rational functions. We use the interpretation to automate the generation of these rational series for both noncrossing and nonnesting coloured set partitions and permutations. <begin>otherlanguage*</begin>french L'équidistribution de plusieurs statistiques décrites en termes d'emboitements et de chevauchements d'arcs s'observes dans plusieurs familles d'objects combinatoires, tels que les couplages, partitions d'ensembles, permutations et graphes étiquetés. L'involution échangeant le nombre d'emboitements et de chevauchements dans les partitions d'ensemble due à Krattenthaler, et aussi Chen, Deng, Du, Stanley et Yan, et l'involution similaire dans les permutations due à Burrill, Mishna et Post, requièrent d'utiliser des objets de type tableaux. Récemment, Chen et Guo pour les couplages, et Marberg pour les partitions d'ensembles, ont étendu ces résultats au cas de diagrammes arc-annotés coloriés. Nous démontrons que la propriété d'équidistribution s'observe est aussi vraie dans le cas de permutations aux arcs coloriés. Tout comme dans le travail résent de Marberg, mais via un autre chemin, nous montrons que les séries génératrices ordinaires des permutations r-coloriées ayant au plus j chevauchements et k emboitements, comptées selon la taille n, sont des fonctions rationnelles. Nous décrivons aussi des algorithmes permettant de calculer ces fonctions rationnelles pour les partitions d'ensembles et les permutations coloriées sans emboitement ou sans chevauchement. <end>otherlanguage*</end>

scholarly journals Balanced binary trees in the Tamari lattice

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Samuele Giraudo
Keyword(s):  
Functional Equation ◽  
Binary Trees ◽  
Tamari Lattice ◽  
Tree Patterns ◽  
Generating Series ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Balanced Tree

International audience We show that the set of balanced binary trees is closed by interval in the Tamari lattice. We establish that the intervals $[T_0, T_1]$ where $T_0$ and $T_1$ are balanced trees are isomorphic as posets to a hypercube. We introduce tree patterns and synchronous grammars to get a functional equation of the generating series enumerating balanced tree intervals. Nous montrons que l'ensemble des arbres équilibrés est clos par intervalle dans le treillis de Tamari. Nous caractérisons la forme des intervalles du type $[T_0, T_1]$ où $T_0$ et $T_1$ sont équilibrés en montrant qu'en tant qu'ensembles partiellement ordonnés, ils sont isomorphes à un hypercube. Nous introduisons la notion de motif d'arbre et de grammaire synchrone dans le but d'établir une équation fonctionnelle de la série génératrice qui dénombre les intervalles d'arbres équilibrés.

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