scholarly journals Combinatorial Topology of Toric arrangements

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Giacomo d'Antonio ◽  
Emanuele Delucchi
Keyword(s):  
Discrete Morse Theory ◽  
Full Model ◽  
Combinatorial Topology ◽  
Cw Complex ◽  
Combinatorial Model ◽  
International Audience ◽  
Toric Arrangement ◽  
Broken Circuit ◽  
Torsion Free ◽  
Salvetti Complex

International audience We prove that the complement of a complexified toric arrangement has the homotopy type of a minimal CW-complex, and thus its homology is torsion-free. To this end, we consider the toric Salvetti complex, a combinatorial model for the arrangement's complement. Using diagrams of acyclic categories we obtain a stratification of this combinatorial model that explicitly associates generators in homology to the "local no-broken-circuit sets'' defined in terms of the incidence relations of the arrangement. Then we apply a suitably generalized form of Discrete Morse Theory to describe a sequence of elementary collapses leading from the full model to a minimal complex. On démontre que l’espace complémentaire d’un arrangement torique complexifié a le type d’homotopie d’un complexe CW minimal, donc que ses groupes d’homologie sont libres. On considère d’abord un modèle combinatoire du complémentaire de l’arrangement: le complexe de Salvetti torique. On obtient une stratification de ce complexe qui fait correspondre explicitement les générateurs d’homologie aux “circuits-non-rompus locaux” associés aux relations d’incidence de l’arrangement. On applique une forme généralisée de la théorie de Morse discrète pour obtenir une suite de collapsements élémentaires qui conduit à un complexe minimal.

scholarly journals Combinatorics of k-shapes and Genocchi numbers

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Florent Hivert ◽  
Olivier Mallet
Keyword(s):  
Symmetric Functions ◽  
New Model ◽  
Work In Progress ◽  
Genocchi Numbers ◽  
Combinatorial Model ◽  
International Audience

International audience In this paper we present a work in progress on a conjectural new combinatorial model for the Genocchi numbers. This new model called irreducible k-shapes has a strong algebraic background in the theory of symmetric functions and leads to seemingly new features on the theory of Genocchi numbers. In particular, the natural q-analogue coming from the degree of symmetric functions seems to be unknown so far. Dans cet article, nous présentons un travail en cours sur un nouveau modèle combinatoire conjectural pour les nombres de Genocchi. Ce nouveau modèle est celui des k-formes irréductibles, qui repose sur de solides bases algébriques en lien avec la théorie des fonctions symétriques et qui conduit à des aspects apparemment nouveaux de la théorie des nombres de Genocchi. En particulier, le q-analogue naturel venant du degré des fonctions symétriques semble inconnu jusqu'ici.

scholarly journals Zonotopes, toric arrangements, and generalized Tutte polynomials

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Luca Moci
Keyword(s):  
Characteristic Polynomial ◽  
Hilbert Series ◽  
Hyperplane Arrangement ◽  
Tutte Polynomial ◽  
Integral Points ◽  
Poincaré Polynomial ◽  
Tutte Polynomials ◽  
International Audience ◽  
Toric Arrangement ◽  
Positive Coefficients

International audience We introduce a multiplicity Tutte polynomial $M(x,y)$, which generalizes the ordinary one and has applications to zonotopes and toric arrangements. We prove that $M(x,y)$ satisfies a deletion-restriction recurrence and has positive coefficients. The characteristic polynomial and the Poincaré polynomial of a toric arrangement are shown to be specializations of the associated polynomial $M(x,y)$, likewise the corresponding polynomials for a hyperplane arrangement are specializations of the ordinary Tutte polynomial. Furthermore, $M(1,y)$ is the Hilbert series of the related discrete Dahmen-Micchelli space, while $M(x,1)$ computes the volume and the number of integral points of the associated zonotope. On introduit un polynôme de Tutte avec multiplicité $M(x, y)$, qui généralise le polynôme de Tutte ordinaire et a des applications aux zonotopes et aux arrangements toriques. Nous prouvons que $M(x, y)$ satisfait une récurrence de "deletion-restriction'' et a des coefficients positifs. Le polynôme caractéristique et le polynôme de Poincaré d'un arrangement torique sont des spécialisations du polynôme associé $M(x, y)$, de même que les polynômes correspondants pour un arrangement d'hyperplans sont des spécialisations du polynôme de Tutte ordinaire. En outre, $M(1, y)$ est la série de Hilbert de l'espace discret de Dahmen-Micchelli associé, et $M(x, 1)$ calcule le volume et le nombre de points entiers du zonotope associé.

scholarly journals Poset topology and homological invariants of algebras arising in algebraic combinatorics

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Stuart Margolis ◽  
Franco Saliola ◽  
Benjamin Steinberg
Keyword(s):  
Commutative Algebra ◽  
Homological Algebra ◽  
Algebraic Combinatorics ◽  
Combinatorial Topology ◽  
International Audience ◽  
Homological Invariants ◽  
New Interpretation ◽  
Poset Topology

International audience We present a beautiful interplay between combinatorial topology and homological algebra for a class of monoids that arise naturally in algebraic combinatorics. We explore several applications of this interplay. For instance, we provide a new interpretation of the Leray number of a clique complex in terms of non-commutative algebra.

scholarly journals A new two-variable generalization of the chromatic polynomial

2003 ◽  
Vol Vol. 6 no. 1 ◽  
Author(s):  
Klaus Dohmen ◽  
André Poenitz ◽  
Peter Tittmann
Keyword(s):  
Chromatic Polynomial ◽  
Complete Graphs ◽  
Matching Polynomial ◽  
Independence Polynomial ◽  
Decomposition Formula ◽  
International Audience ◽  
Complete Bipartite Graphs ◽  
Chromatic Symmetric Function ◽  
Broken Circuit ◽  
Edge Decomposition

International audience We present a two-variable polynomial, which simultaneously generalizes the chromatic polynomial, the independence polynomial, and the matching polynomial of a graph. This new polynomial satisfies both an edge decomposition formula and a vertex decomposition formula. We establish two general expressions for this new polynomial: one in terms of the broken circuit complex and one in terms of the lattice of forbidden colorings. We show that the new polynomial may be considered as a specialization of Stanley's chromatic symmetric function. We finally give explicit expressions for the generalized chromatic polynomial of complete graphs, complete bipartite graphs, paths, and cycles, and show that it can be computed in polynomial time for trees and graphs of restricted pathwidth.

scholarly journals NBC Complexes of Convex Geometries

2005 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AE,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Kenji Kashiwabara ◽  
Masataka Nakamura
Keyword(s):  
Convex Geometry ◽  
Decomposition Theorem ◽  
International Audience ◽  
Generating Theorem ◽  
Convex Geometries ◽  
Broken Circuit

International audience We introduce a notion of a $\textit{broken circuit}$ and an $\textit{NBC complex}$ for an (abstract) convex geometry. Based on these definitions, we shall show the analogues of the Whitney-Rota's formula and Brylawski's decomposition theorem for broken circuit complexes on matroids for convex geometries. We also present an Orlik-Solomon type algebra on a convex geometry, and show the NBC generating theorem.

scholarly journals The biHecke monoid of a finite Coxeter group

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Florent Hivert ◽  
Anne Schilling ◽  
Nicolas M. Thiéry
Keyword(s):  
Representation Theory ◽  
Group Algebra ◽  
Coxeter Group ◽  
Projective Modules ◽  
Permutation Matrices ◽  
Hecke Group ◽  
Finite Coxeter Group ◽  
Nous Montrons ◽  
Combinatorial Model ◽  
International Audience

arXiv : http://arxiv.org/abs/0912.2212 International audience For any finite Coxeter group $W$, we introduce two new objects: its cutting poset and its biHecke monoid. The cutting poset, constructed using a generalization of the notion of blocks in permutation matrices, almost forms a lattice on $W$. The construction of the biHecke monoid relies on the usual combinatorial model for the $0-Hecke$ algebra $H_0(W)$, that is, for the symmetric group, the algebra (or monoid) generated by the elementary bubble sort operators. The authors previously introduced the Hecke group algebra, constructed as the algebra generated simultaneously by the bubble sort and antisort operators, and described its representation theory. In this paper, we consider instead the monoid generated by these operators. We prove that it admits |W| simple and projective modules. In order to construct the simple modules, we introduce for each $w∈W$ a combinatorial module $T_w$ whose support is the interval $[1,w]_R$ in right weak order. This module yields an algebra, whose representation theory generalizes that of the Hecke group algebra, with the combinatorics of descents replaced by that of blocks and of the cutting poset. Pour tout groupe de Coxeter fini $W$, nous définissons deux nouveaux objets : son ordre de coupures et son monoïde de Hecke double. L'ordre de coupures, construit au moyen d'une généralisation de la notion de bloc dans les matrices de permutations, est presque un treillis sur $W$. La construction du monoïde de Hecke double s'appuie sur le modèle combinatoire usuel de la $0-algèbre$ de Hecke $H_0(W)$, pour le groupe symétrique, l'algèbre (ou le monoïde) engendré par les opérateurs de tri par bulles élémentaires. Les auteurs ont introduit précédemment l'algèbre de Hecke-groupe, construite comme l'algèbre engendrée conjointement par les opérateurs de tri et d'anti-tri, et décrit sa théorie des représentations. Dans cet article, nous considérons le monoïde engendré par ces opérateurs. Nous montrons qu'il admet $|W|$ modules simples et projectifs. Afin de construire ses modules simples, nous introduisons pour tout $w∈W$ un module combinatoire $T_w$ dont le support est l'intervalle [$1,w]_R$ pour l'ordre faible droit. Ce module détermine une algèbre dont la théorie des représentations généralise celle de l'algèbre de Hecke groupe, en remplaçant la combinatoire des descentes par celle des blocs et de l'ordre de coupures.

scholarly journals A Combinatorial Model for $q$-Generalized Stirling and Bell Numbers

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Miguel Méndez ◽  
Adolfo Rodríguez
Keyword(s):  
Stirling Numbers ◽  
Direct Application ◽  
Bell Numbers ◽  
Bijective Correspondence ◽  
Rook Placements ◽  
Combinatorial Model ◽  
International Audience ◽  
Generalized Stirling Numbers ◽  
Dual Graded Graphs ◽  
Combinatorial Methods

International audience We describe a combinatorial model for the $q$-analogs of the generalized Stirling numbers in terms of bugs and colonies. Using both algebraic and combinatorial methods, we derive explicit formulas, recursions and generating functions for these $q$-analogs. We give a weight preserving bijective correspondence between our combinatorial model and rook placements on Ferrer boards. We outline a direct application of our theory to the theory of dual graded graphs developed by Fomin. Lastly we define a natural $p,q$-analog of these generalized Stirling numbers.

scholarly journals Models and refined models for involutory reflection groups and classical Weyl groups

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Fabrizio Caselli ◽  
Roberta Fulci
Keyword(s):  
Weyl Group ◽  
Coxeter Groups ◽  
Finite Subgroup ◽  
Weyl Groups ◽  
Reflection Groups ◽  
Complex Conjugation ◽  
Complex Reflection ◽  
Complex Reflection Groups ◽  
Combinatorial Model ◽  
International Audience

International audience A finite subgroup $G$ of $GL(n,\mathbb{C})$ is involutory if the sum of the dimensions of its irreducible complex representations is given by the number of absolute involutions in the group, i.e. elements $g \in G$ such that $g \bar{g}=1$, where the bar denotes complex conjugation. A uniform combinatorial model is constructed for all non-exceptional irreducible complex reflection groups which are involutory including, in particular, all infinite families of finite irreducible Coxeter groups. If $G$ is a classical Weyl group this result is much refined in a way which is compatible with the Robinson-Schensted correspondence on involutions. Un sous-groupe fini $G$ de GL(n,ℂ) est dit involutoire si la somme des dimensions de ses représentations irréductibles complexes est donné par le nombre de involutions absolues dans le groupe, c'est-a-dire le nombre de éléments $g \in G$ tels que $g \bar{g}=1$, où le bar dénote la conjugaison complexe. Un modèle combinatoire uniforme est construit pour tous les groupes de réflexions complexes irréductibles qui sont involutoires, en comprenant, toutes les familles de groupes de Coxeter finis irréductibles. Si $G$ est un groupe de Weyl ce résultat peut se raffiner d'une manière compatible avec la correspondance de Robinson-Schensted sur les involutions.

scholarly journals A combinatorial model for exceptional sequences in type A

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Alexander Garver ◽  
Jacob P. Matherne
Keyword(s):  
Type A ◽  
Linear Extensions ◽  
Quiver Representations ◽  
Noncrossing Partitions ◽  
Labeled Trees ◽  
Combinatorial Model ◽  
International Audience ◽  
Exceptional Sequences ◽  
Nous Utilisons

International audience Exceptional sequences are certain ordered sequences of quiver representations. We use noncrossing edge-labeled trees in a disk with boundary vertices (expanding on T. Araya’s work) to classify exceptional sequences of representations of $Q$, the linearly ordered quiver with $n$ vertices. We also show how to use variations of this model to classify $c$-matrices of $Q$, to interpret exceptional sequences as linear extensions, and to give a simple bijection between exceptional sequences and certain chains in the lattice of noncrossing partitions. In the case of $c$-matrices, we also give an interpretation of $c$-matrix mutation in terms of our noncrossing trees with directed edges. Les suites exceptionnelles sont certaines suites ordonnées de représentations de carquois. Nous utilisons des arbres aux arêtes étiquetés et aux sommets dans le bord d’un disque (expansion sur le travail de T. Araya) pour classifier les suites exceptionnelles de représentations du carquois linéairement ordonné à $n$ sommets. Nous exploitons des variations de ce modèle pour classifier les $c$-matrices dudit carquois, pour interpréter les suites exceptionnelles comme des extensions linéaires, et pour donner une bijection élémentaire entre les suites exceptionnelles et certaines chaînes dans le réseau des partitions sans croisement. Dans le cas des $c$-matrices, nous donnons également une interprétation de la mutation des $c$-matrices en termes des arbres sans croisement aux arêtes orientés.

scholarly journals Cumulants of the q-semicircular law, Tutte polynomials, and heaps

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Matthieu Josuat-Vergès
Keyword(s):  
Tutte Polynomial ◽  
Combinatorial Interpretation ◽  
Poisson Law ◽  
Semicircular Law ◽  
Combinatorial Model ◽  
Tutte Polynomials ◽  
International Audience ◽  
Nonnegative Coefficients

International audience The q-semicircular law as introduced by Bożejko and Speicher interpolates between the Gaussian law and the semicircular law, and its moments have a combinatorial interpretation in terms of matchings and crossings. We prove that the cumulants of this law are, up to some factor, polynomials in q with nonnegative coefficients. This is done by showing that they are obtained by an enumeration of connected matchings, weighted by the evaluation at (1,q) of a Tutte polynomial. The two particular cases q=0 and q=2 have also alternative proofs, related with the fact that these particular evaluation of the Tutte polynomials count some orientations on graphs. Our methods also give a combinatorial model for the cumulants of the free Poisson law. La loi q-semicirculaire introduite par Bożejko et Speicher interpole entre la loi gaussienne et la loi semi-circulaire, et ses moments ont une interprétation combinatoire en termes de couplages et croisements. Nous prouvons que les cumulants de cette loi sont, à un facteur près, des polynômes en q à coefficients positifs. La méthode consiste à obtenir ces cumulants par une énumération de couplages connexes, pondérés par l’évaluation en (1,q) d'un polynôme de Tutte. Les cas particuliers q=0 et q=2 ont une preuve alternative, reliè au fait que des évaluations particulières du polynôme de Tutte comptent certaines orientations de graphes. Nos méthodes donnent aussi un modèle combinatoire aux cumulants de la loi de Poisson libre.

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