Два примера, связанные со свойствами дискретных мер

Предложены два примера, основанные на свойствах дискретных мер. В первой части статьи доказывается, что для произвольной единичной меры $\mu$, $\operatorname{supp}{\mu}=[-1,1]$, логарифмический потенциал которой непрерывный на $[-1,1]$, существовует (дискретная) мера $\sigma=\sigma(\mu)$, $\operatorname{supp}{\sigma}=[-1,1]$, такая, что для соответствующих ортогональных полиномов $P_n(x;\sigma)=x^n+\dotsb$ справедливо соотношение: $$ \frac1n \chi(P_n( \cdot ;\sigma))\xrightarrow{*}\mu,\qquad n\to\infty, $$ где $\chi( \cdot )$ - мера, считающая нули полинома. Доказательство существования меры $\sigma$ основано на свойствах обобщенных точек Лея (weighted Leja points). Во второй части приводится пример компакта и последовательности дискретных мер с носителями на этом компакте, обладающей следующим свойством. Эта последовательность мер сходится в $*$-слабой топологии к равновесной мере компакта, но соответствующая последовательность логарифмических потенциалов не сходится по емкости к равновесному потенциалу ни в одной окрестности компакта. Библиография: 11 названий.