scholarly journals On modelling harmonic waves in linear micropolar elastic media by four screw fields

2020 ◽  
pp. 27-36
Author(s):  
Юрий Николаевич Радаев
Keyword(s):  
Differential Equations ◽  
Linear Theory ◽  
Harmonic Wave ◽  
Mathematical Physics ◽  
Harmonic Waves ◽  
Micropolar Elasticity ◽  
Alternative Analysis ◽  
First Order ◽  
Physical Fields ◽  
Vector Differential Equation

В статье рассматриваются дифференциальные уравнения для потенциалов, обеспечивающие выполнение связанных векторных дифференциальных уравнений линейной теории микрополярной упругости в случае гармонической зависимости поля перемещений и микровращений от времени. Предложена альтернативная схема расщепления связанных векторных дифференциальных уравнений микрополярной теории упругости для потенциалов на несвязанные уравнения первого порядка. Она основана на пропорциональности с разными масштабными факторами вихревых составляющих перемещений и микровращений одному вихревому винтовому полю. Найдено представление векторов перемещений и микровращений с помощью четырех винтовых векторов, обеспечивающее выполнимость связанных векторных дифференциальных уравнений линейной теории микрополярной упругости. В результате проблема нахождения вихревых составляющих перемещений и микровращений сводится к решению четырех несвязанных между собой векторных винтовых дифференциальных уравнений первого порядка с частными производными. Полученные результаты могут быть использованы в прикладных задачах механики, связанных с распространением гармонических (монохроматических) волн перемещений и микровращений вдоль длинных волноводов. The paper is devoted to study of the coupled vector differential equations of the linear theory of micropolar elasticity formulated in terms of displacements and microrotations in the case of a harmonic dependence of the physical fields on time. An alternative analysis aimed at splitting the coupled vector differential equation of the linear theory of micropolar elasticity into uncoupled equations is given. It is based on a notion of proportionality of the vortex parts of the displacements and microrotations to the single vector, which satisfies the screw equation well known from the mathematical physics. As a result, the problem of finding the vortex parts of the displacements and microrotations fields is reduced to solution of four uncoupled screw differential equations of the first order with partial derivatives. Obtained results are to be used in applied problems of the micropolar elasticity and in particular in studies of harmonic wave propagation along waveguides

scholarly journals Representation of Waves of Displacements and Micro-rotations by Systems of the Screw Vector Fields

2020 ◽  
Vol 20 (4) ◽  
pp. 468-477
Author(s):  
Yuri N. Radayev ◽  
Keyword(s):  
Differential Equations ◽  
Linear Theory ◽  
Vector Fields ◽  
Harmonic Waves ◽  
Micropolar Elasticity ◽  
Cylindrical Waveguides ◽  
Physical Fields ◽  
Waves Propagation ◽  
Vector Differential Equation ◽  
Linear Micropolar Elasticity

The present study concerns the coupled vector differential equations of the linear theory of micropolar elasticity formulated in terms of displacements and micro-rotations in the case of a harmonic dependence of the physical fields on time. The system is known from many previous discussions on the micropolar elasticity. A new analysis aimed at uncoupling the coupled vector differential equation of the linear theory of micropolar elasticity is carried out. A notion of proportionality of the vortex parts of the displacements and microrotations to a single vector, which satisfies the screw equation, is employed. Finally the problem of finding the vortex parts of the displacements and micro-rotations fields is reduced to solution of four uncoupled screw differential equations. Corresponding representation formulae are given. Obtained results can be applied to problems of the linear micropolar elasticity concerning harmonic waves propagation along cylindrical waveguides.

scholarly journals Harmonic waves of a given azimuthal number in a micropolar cylindrical waveguide

2020 ◽  
pp. 64-83
Author(s):  
Юрий Николаевич Радаев
Keyword(s):  
Differential Equations ◽  
Linear Theory ◽  
Coupled System ◽  
Harmonic Waves ◽  
Cylindrical Domain ◽  
Micropolar Elasticity ◽  
Helmholtz Equations ◽  
Cylindrical Coordinate ◽  
Rotation Vectors ◽  
Vector Differential Equation

Рассматривается система двух связанных векторных дифференциальных уравнений линейной теории микрополярной упругости, сформулированная в терминах перемещений и микровращений в случае гармонической зависимости перемещений и микровращений от времени. Вводятся потенциалы перемещений и микровращений. Выполнено расщепление связанных векторных дифференциальных уравнений микрополярной теории упругости для потенциалов на несвязанные винтовые уравнения, опираясь на пропорциональность (с разными масштабными факторами) вихревых составляющих перемещений и микровращений только одному вихревому винтовому полю. Найдено представление векторов перемещений и микровращений с помощью четырех винтовых векторов. Оно обеспечивает выполнимость связанных векторных дифференциальных уравнений линейной теории микрополярной упругости. Проблема нахождения вихревых составляющих перемещений и микровращений приведена к решению четырех несвязанных между собой векторных винтовых дифференциальных уравнений. Получено представление перемещений и микровращений с помощью двух несвязанных метагармонических векторов. Выполнено разделение пространственных переменных в уравнениях Гельмгольца в цилиндрической системе координат. Определены решения скалярного и векторного уравнений Гельмгольца в бесконечной цилиндрической области, содержащие ряд произвольных постоянных. В явном виде найдены представления векторов перемещений и микровращений в длинном линейном микрополярном цилиндре, содержащие восемь произвольных постоянных. Такого рода решения определяют формы гармонических волн перемещений и микровращений, распространяющихся вдоль оси длинного кругового цилиндра. Полученные представления для гармонических волн перемещений и микровращений имеют смысл только для волн, характеризующихся заданным азимутальным числом. The coupled system of vector differential equations of the linear theory of micropolar elasticity presented in terms of displacements and micro-rotations in the case of a harmonic dependence of physical fields on time is considered in the three different variants of which the two are due to W. Nowacki and H. Neuber. A new scheme of splitting the coupled vector differential equation of the linear theory of micropolar elasticity into uncoupled ones is proposed. The scheme is based on proportionality of the vortex parts of the displacements and micro-rotations to the single vector, which satisfies the screw equation. The problem of determination of the vortex parts of the displacements and micro-rotations fields is reduced to solution of four uncoupled screw differential equations. A new representation of displacement and micro-rotation vectors is obtained by using two uncoupled metaharmonic vectors. The separation of spatial variables in the Helmholtz metaharmonic equations in a cylindrical coordinate net is described. Solutions of the scalar and vector Helmholtz equations in an infinite cylindrical domain containing a series of arbitrary constants are obtained. Representation of displacement and micro-rotation vectors in a long micropolar cylinder containing eight arbitrary constants are explicitly found. The corresponding solutions are proved to determine the modes of harmonic waves of displacements and micro-rotations propagating along the axis of a long circular cylinder. The obtained modes of the harmonic displacements and micro-rotations waves are valid only for those characterized by a given azimuthal number.

scholarly journals Metaharmonic potentials in mechanics of micropolar media

2020 ◽  
pp. 35-48
Author(s):  
Юрий Николаевич Радаев
Keyword(s):  
Wave Propagation ◽  
Differential Equations ◽  
Harmonic Wave ◽  
Separation Of Variables ◽  
Representation Formula ◽  
Micropolar Elasticity ◽  
Micropolar Media ◽  
Physical Fields ◽  
Wave Propagation In Waveguides

Рассматриваются дифференциальные уравнения для потенциалов перемещений и микровращений, замещающие связанные векторные дифференциальные уравнения линейной теории микрополярной упругости. Исследуются только гармонические зависимости от времени. Опираясь на представление векторов перемещений и микровращений с помощью четырех винтовых векторов, обеспечивающее выполнимость связанных векторных дифференциальных уравнений линейной теории микрополярной упругости, получены новые представления в терминах двух метагармонических векторных полей. Проблема нахождения вихревых составляющих перемещений и микровращений приводится к решению двух несвязанных между собой векторных метагармонических уравнений. Часто указанные уравнения могут быть решены разделением пространственных переменных. Поэтому полученные представления могут находить применение в прикладных задачах механики деформируемого твердого тела, связанных с распространением гармонических волн перемещений и микровращений, характеризующихся заданным азимутальным числом, вдоль длинных цилиндрических волноводов. The coupled vector differential equations of the linear theory of micropolar elasticity formulated in terms of displacements and micro-rotations are studied. A harmonic dependence of the physical fields on time is assumed. By employing the displacements and micro-rotations representation formula in the terms of four screw vectors a new representation based on two metaharmonic vectors are obtained. Thus the problem of determination of the vortex parts of the displacement and micro-rotation fields is reduced to solution of two uncoupled vector metaharmonic equations. The latter can be oftenly solved by the separation of variables technique. For this reason obtained results can be applied to various problems of the micropolar elasticity related to harmonic wave propagation in waveguides. In particular this is true for waves of a given azimuthal number in a long cylindrical waveguide.

scholarly journals Book Review

2011 ◽  
Vol 19 (4) ◽  
pp. 259-264
Author(s):  
Adrian Brown
Keyword(s):  
Differential Equations ◽  
Boundary Conditions ◽  
Coordinate System ◽  
Full Text ◽  
Mathematical Physics ◽  
Theoretical Physics ◽  
Coordinate Systems ◽  
Physical Fields ◽  
Mathematical Physicist

Phillip M. Morse and Herman Feshbach, Professors of Physics at the MIT, published their biblical-sized textbook ‘Methods of Theoretical Physics’ with McGraw-Hill in May 1953. At 1978 pages and published in two books, it is an intimidating twin tome that should still be atop the reading lists or the bookshelves of every mathematical physicist. What material is covered in this book? In the most concise of terms, this book is devoted to the study of differential equations and associated boundary conditions that describe physical fields. The thirteen chapters address what circumstances warrant the use of which differential equations, and most often addresses the question of coordinate system transformations, for example, how do Green's functions for Laplace's Equation transform under different coordinate systems? Under what circumstances the solutions can be expected to be separable? Many examples are covered to illustrate these points. Why is this book relevant to Software Programmers? This book is part of the background that any scientific programmer is likely to need in dealing with physical fields. This book was written before personal computers became ubiquitous, however it is still an outstanding effort to tie the methods of solving differential equations governing fields together in one book. The book never received a second edition, however, it was reprinted to an outstanding standard by Feshbach Publishing since 2004, run by the children of Herman Feshbach. Their website is feshbachpublishing.com. The majority of this review is a mini-commentary of the book showing what is covered in a very terse fashion, which may be useful as a summary even for those who have already read the full text. I then give a brief analysis of the approach to mathematical physics taken by the book. Finally, I will discuss who will benefit from reading this magnificent treatise, nearly 60 years after it was first published.

Asymptotics for third-order nonlinear differential equations: Non-oscillatory and oscillatory cases

2021 ◽  
pp. 1-19
Author(s):  
Calogero Vetro ◽  
Dariusz Wardowski
Keyword(s):  
Differential Equation ◽  
Differential Equations ◽  
Order Differential Equation ◽  
Nonlinear Differential Equations ◽  
Oscillatory Behavior ◽  
Third Order ◽  
First Order ◽  
Third Order Differential Equation ◽  
Comparison Technique ◽  
First Order Differential Equations

We discuss a third-order differential equation, involving a general form of nonlinearity. We obtain results describing how suitable coefficient functions determine the asymptotic and (non-)oscillatory behavior of solutions. We use comparison technique with first-order differential equations together with the Kusano–Naito’s and Philos’ approaches.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document