Compact and efficient implicit representations

Στην προοπτική του χειρισμού γεωμετρικών αντικειμένων, υπάρχουν δύο κύριες αναπαραστάσεις καμπυλών και επιφανειών: παραμετρικές και αλγεβρικές αναπαραστάσεις. Και οι δύο είναι χρήσιμες για διαφορετικούς σκοπούς και έτσι αλληλοσυμπληρώνονται. Οι παραμετρικές αναπαραστάσεις είναι αποτελεσματικές στα σημεία δειγματοληψίας ενός αντικειμένου. Οι αλγεβρικές αναπαραστάσεις είναι αποτελεσματικές για τον προσδιορισμό του αν ένα σημείο ανήκει σε ένα αντικείμενο ή όχι. Εξαιτίας αυτού, η κατοχή και των δύο αναπαραστάσεων για το ίδιο αντικείμενο μεγιστοποιεί το εύρος των λειτουργιών που μπορούν να πραγματοποιηθούν με το αντικείμενο αυτό. Η μετάβαση από μία αναπαράσταση σε άλλη δεν είναι εύκολη υπόθεση. Απαιτεί συνήθως τη χρήση αλγεβρικών ιδιοτήτων. Έτσι, υπάρχει μια ισχυρή σχέση μεταξύ άλγεβρας και γεωμετρίας, που συμβολίζεται από τα αλγεβρικά σύνολα: είναι γεωμετρικά αντικείμενα που περιγράφονται από αλγεβρικές εξισώσεις. Η μετάβαση από την παραμετρική στην αλγεβρική αναπαράσταση καλείται αλγεβρικοποίηση. Αυτή η εργασία εξετάζει νέα είδη αλγεβρικών αναπαραστάσεων και αλγορίθμων για τον υπολογισμό αλγεβρικών αναπαραστάσεων. Δείχνουμε ότι διάφορες μέθοδοι προσαρμόζονται σε διαφορετικές καταστάσεις, ακόμη και όταν πρόκειται για την επιλογή μιας αλγεβρικής αναπαράστασης μεταξύ διαφόρων αλγεβρικών αναπαραστάσεων. Οι καμπύλες στον χώρο μπορούν έτσι να περιγραφούν αλγεβρικά με κωνικές επιφάνειες, κινούμενες γραμμές και/ή κινούμενη τετραγωνική επιφάνεια… όπου κάθε περιγραφή έχει διαφορετικές γεωμετρικές ιδιότητες και πρακτική χρήση. Εφόσον δεν υπάρχει βέλτιστη αναπαράσταση ή βέλτιστος αλγόριθμος αλλαγής αναπαράστασης για όλες τις περιπτώσεις, επιλέγουμε να αναπτύξουμε μεθόδους που ταιριάζουν σε διάφορα είδη γνωστών πληροφοριών σχετικά με το αντικείμενο που θέλουμε να αντιπροσωπεύουμε. Όπως δείχνουμε, τα αντικείμενα που κατασκευάζονται με τη μετατόπιση ενός άκαμπτου σώματος (swept volumes) μπορούν να αναπαρίστανται χρησιμοποιώντας τη γνώση αυτής της φύσης. Ομοίως, πολύ συγκεκριμένες καμπύλες μπορεί να έχουν περίπλοκη αλγεβρική δομή. Ανάλογα με την ανοχή μας στην προσέγγιση, τέτοιες καμπύλες μπορούν έτσι να διαταραχθούν για να απλουστεύσουν σε μεγάλο βαθμό την αλγεβρική δομή τους ή, αντίθετα, να αναπαρασταθούν από ένα σχήμα πλούσιας αλγεβρικής δομής.