Quasilinear Equations of the Form f(x, y)∂w/∂x + g(x, y)∂w/∂y = h(x, y, w)

2001 ◽  
pp. 261-272
Keyword(s):  
Quasilinear Equations

On the Cauchy problem associated with the Brinkman flow in

2021 ◽  
pp. 1-20
Author(s):  
Michel Molina Del Sol ◽  
Eduardo Arbieto Alarcon ◽  
Rafael José Iorio
Keyword(s):  
Cauchy Problem ◽  
Porous Media ◽  
Fluid Flow ◽  
Comparison Principle ◽  
Well Posedness ◽  
Quasilinear Equations ◽  
Brinkman Equations ◽  
The Cauchy Problem ◽  
Model Fluid ◽  
Image Position

In this study, we continue our study of the Cauchy problem associated with the Brinkman equations [see (1.1) and (1.2) below] which model fluid flow in certain types of porous media. Here, we will consider the flow in the upper half-space \[ \mathbb{R}_{+}^{3}=\left\{\left(x,y,z\right) \in\mathbb{R}^{3}\left\vert z\geqslant 0\right.\right\}, \] under the assumption that the plane $z=0$ is impenetrable to the fluid. This means that we will have to introduce boundary conditions that must be attached to the Brinkman equations. We study local and global well-posedness in appropriate Sobolev spaces introduced below, using Kato's theory for quasilinear equations, parabolic regularization and a comparison principle for the solutions of the problem.

scholarly journals Variants of the Hodograph Method for Solving a System of Two Quasilinear Equations

2021 ◽  
pp. 34-50
Author(s):  
Т.Ф. Долгих ◽  
М.Ю. Жуков
Keyword(s):  
Quasilinear Equations ◽  
Hodograph Method

Строится решение задачи Коши для системы двух квазилинейных однородных уравнений в частных производных первого порядка при помощи метода годографа, позволяющего преобразовать решение квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка к решению некоторого линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с~переменными коэффициентами. Показано, что различные варианты метода годографа - стандартного, на основе закона сохранения и обобщенного метода годографа, позволяющие строить решение задачи Коши в неявной форме, в конечном итоге, приводят к одному и тому же результату и отличаются лишь объемом технической работы. Доказательство осуществляется путем вычисления инвариантов Лапласа для канонической формы линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка. В случае, когда уравнения допускают явную связь исходных переменных с инвариантами Римана и соответствующее линейное уравнение метода годографа позволяет указать явную форму функции Римана - Грина, описан способ построения явного решения на линиях уровня неявного решения. Задача Коши для системы двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка сводится к задаче Коши для некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера приведено точное неявное решение для системы слабо-нелинейных уравнений. Все рассмотренные методы и способ построения явного решения можно применять для уравнений гиперболического и эллиптического типов. В случае гиперболических уравнений возможно построение автомодельных и разрывных решений (после добавления условий на разрывах), а также решений многозначных по пространственной координате (если такие решения допускаются постановкой задачи). Несмотря на то, что на заключительном этапе метода задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений приходится решать численно, никаких аппроксимаций уравнений в частных производных, типичных для конечно-разностного метода, метода конечных элементов, метода конечных объемов и т. п. не используется. Метод является точным в том смысле, что погрешность вычислений связана лишь с точностью интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

scholarly journals The nonlocal solvability conditions for a system of two quasilinear equations of the first order with absolute terms

2019 ◽  
Vol 21 (3) ◽  
pp. 317-328
Author(s):  
Marina V. Dontsova
Keyword(s):  
Cauchy Problem ◽  
Finite Number ◽  
Initial Conditions ◽  
Sufficient Conditions ◽  
Local Solution ◽  
Quasilinear Equations ◽  
Solvability Conditions ◽  
First Order ◽  
The Cauchy Problem ◽  
Global Estimates

The Cauchy problem for a system of two first-order quasilinear equations with absolute terms is considered. The study of this problem’s solvability in original coordinates is based on the method of an additional argument. The existence of the local solution of the problem with smoothness which is not lower than the smoothness of the initial conditions, is proved. Sufficient conditions of existence are determined for the nonlocal solution that is continued by a finite number of steps from the local solution. The proof of the nonlocal resolvability of the Cauchy problem relies on original global estimates.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document