Higher-Order Predictor-Corrector Interior Point Methods with Application to Quadratic Objectives

1993 ◽  
Vol 3 (4) ◽  
pp. 696-725 ◽  
Author(s):  
Tamra J. Carpenter ◽  
Irvin J. Lusting ◽  
John M. Mulvey ◽  
David F. Shanno
Keyword(s):  
Interior Point ◽  
Interior Point Methods ◽  
Higher Order ◽  
Predictor Corrector

scholarly journals Design and development of a hybrid mathematical programming algorithm

2019 ◽  
Author(s):  
Θεμιστοκλής Γλαβέλης
Keyword(s):  
Mathematical Programming ◽  
Interior Point ◽  
Interior Point Methods ◽  
Simplex Algorithm ◽  
Programming Algorithm ◽  
Design And Development ◽  
Primal Dual ◽  
Predictor Corrector

Κύριος στόχος της διατριβής είναι η μελάτη των αλγορίθμων γραμμικής βελτιστοποίησης και των 3 μεγάλων κατηγοριών, συνοριακοί αλγόριθμοι, μέθοδοι εσωτερικών σημείων (interior point methods) και αλγόριθμοι εξωτερικών σημείων (exterior point algorithms). Εκτός από τη μελέτη τους, σκοπός της διατριβής είναι η προσπάθεια συνδυασμού αυτών.Ένας σημαντικός τομέας του γραμμικού προγραμματισμού είναι οι προλυτικές διαδικασίες. Με τις προλυτικές διαδικασίες οι διαστάσεις του γραμμικού προβλήματος μπορούν να μειωθούν αισθητά με αποτέλεσμα την παραγωγή ενός νέου γραμμικού προβλήματος ισοδύναμου με το παλιό αλλά με μικρότερες διαστάσεις με απώτερο σκοπό ο λύτης να γίνει πιο αποτελεσματικός. Επίσης, πέρα από τις υπάρχουσες διαδικασίες στην βιβλιογραφία παρουσιάστηκε κι αναπτύχθηκε μια καινούρια μέθοδος με όνομα «Εντοπισμός και διαγραφή πλεονασματικών μεταβλητών». Ο πρωτεύων αλγόριθμος εξωτερικών σημείων (Exterior Point Simplex Algorithm - EPSA) αποτελεί την πρώτη προσπάθεια ανάπτυξης αλγορίθμων που κινούνται εκτός της εφικτής περιοχής. Παραλλαγή του EPSA είναι ο πρωτεύων-δυικός αλγόριθμος τύπου Simplex δύο δρόμων (Primal Dual Exterior Point Simplex Algorithm - PDEPSA). Ο PDEPSA αν και καλύτερος του EPSA, υποφέρει εντούτοις από πιθανή εμφάνιση των φαινομένων της στασιμότητας και της κύκλωσης. Για την αποφυγή των φαινομένων της στασιμότητας και της κύκλωσης παρουσιάζουμε μια συγκεκριμένη παραλλαγή του PDEPSA που ονομάζεται Primal Dual Interior Point Simplex Algorithm (PDIPSA. Στην συγκεκριμένη εργασία πραγματοποιήθηκε υπολογιστική μελέτη για να ελεγχθούν στην πράξη τα παραπάνω. Η κύρια συνεισφορά της διατριβής είναι η μελέτη για το κατά ποσό μπορούν να συνδυαστούν αλγόριθμοι διαφορετικών κατηγοριών. Πιο συγκεκριμένα, ο συνδυασμός αλγορίθμων εσωτερικών σημείων και αλγορίθμων εξωτερικών σημείων είναι στο επίκεντρο. Αναλυτικότερα, γίνεται χρήση του PDIPSA διότι αποτελεί μια από τις πιο αποδοτικές παραλλαγές των αλγορίθμων εξωτερικών σημείων και του αλγορίθμου Mehrotra Predictor-Corrector από την ομάδα των αλγορίθμων εσωτερικών σημείων. Επομένως, ο συνδυασμός αυτός αποτελεί έναν πολλά υποσχόμενο αλγόριθμο, διότι με αυτόν τον τρόπο εκμεταλλευόμαστε τα δυνατά σημεία της κάθε ομάδας και αποφεύγουμε τις αδυναμίες τους. Για τον έλεγχο των παραπάνω πραγματοποιήθηκε υπολογιστική μελέτη, όπου έχουν χρησιμοποιηθεί προβλήματα benchmark από την ομάδα Netlib, από την ομάδα Kennington αλλά κι από την συλλογή Meszaros.

A New Predictor-corrector Infeasible Interior-point Algorithm for Linear Optimization in aWide Neighborhood

2020 ◽  
Vol 177 (2) ◽  
pp. 141-156
Author(s):  
Behrouz Kheirfam
Keyword(s):  
Interior Point ◽  
Interior Point Method ◽  
Linear Optimization ◽  
Point Method ◽  
Central Path ◽  
Interior Point Algorithm ◽  
Positive Direction ◽  
Complexity Result ◽  
Infeasible Interior Point Method ◽  
Predictor Corrector

In this paper, we propose a Mizuno-Todd-Ye type predictor-corrector infeasible interior-point method for linear optimization based on a wide neighborhood of the central path. According to Ai-Zhang’s original idea, we use two directions of distinct and orthogonal corresponding to the negative and positive parts of the right side vector of the centering equation of the central path. In the predictor stage, the step size along the corresponded infeasible directions to the negative part is chosen. In the corrector stage by modifying the positive directions system a full-Newton step is removed. We show that, in addition to the predictor step, our method reduces the duality gap in the corrector step and this can be a prominent feature of our method. We prove that the iteration complexity of the new algorithm is 𝒪(n log ɛ−1), which coincides with the best known complexity result for infeasible interior-point methods, where ɛ > 0 is the required precision. Due to the positive direction new system, we improve the theoretical complexity bound for this kind of infeasible interior-point method [1] by a factor of n . Numerical results are also provided to demonstrate the performance of the proposed algorithm.

scholarly journals Approximate solution of system of equations arising in interior-point methods for bound-constrained optimization

2021 ◽  
Author(s):  
David Ek ◽  
Anders Forsgren
Keyword(s):  
Approximate Solution ◽  
Interior Point ◽  
Interior Point Methods ◽  
Linear Equations ◽  
Approximate Solutions ◽  
System Of Nonlinear Equations ◽  
Intermediate Step ◽  
System Of Linear Equations ◽  
Constrained Nonlinear Optimization ◽  
Asymptotic Error

AbstractThe focus in this paper is interior-point methods for bound-constrained nonlinear optimization, where the system of nonlinear equations that arise are solved with Newton’s method. There is a trade-off between solving Newton systems directly, which give high quality solutions, and solving many approximate Newton systems which are computationally less expensive but give lower quality solutions. We propose partial and full approximate solutions to the Newton systems. The specific approximate solution depends on estimates of the active and inactive constraints at the solution. These sets are at each iteration estimated by basic heuristics. The partial approximate solutions are computationally inexpensive, whereas a system of linear equations needs to be solved for the full approximate solution. The size of the system is determined by the estimate of the inactive constraints at the solution. In addition, we motivate and suggest two Newton-like approaches which are based on an intermediate step that consists of the partial approximate solutions. The theoretical setting is introduced and asymptotic error bounds are given. We also give numerical results to investigate the performance of the approximate solutions within and beyond the theoretical framework.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document