Stochastic Differential Games and Viscosity Solutions of Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs Equations

Η παρούσα διατριβή χωρίζεται σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος ξεκινάει με την κατασκευή μίας νέας προσέγγισης για την μελέτη του προβλήματος του καθορισμού της βέλτιστης επενδυτικής πολιτικής κάτω από την ύπαρξη εσωτερικής πληροφόρησης. Η προσέγγιση αυτή βασίζεται κυρίως σε τεχνικές της θεωρίας στοχαστικού ελέγχου και πιο συγκεκριμένα στην χρήση της εξίσωσης Hamilton-Jacobi-Bellman. Εν συνεχεία, επικεντρώνουμε την προσοχή μας στην εισαγωγή εσωτερικής πληροφόρησης σε μία ασφαλιστική/αντασφαλιστική αγορά. Αυτό επιτυγχάνεται θεωρώντας δύο παίκτες : έναν ασφαλιστή και έναν αντασφαλιστή και υποθέτωντας ότι ο ένας από τους δύο, εν προκειμένω ο ασφαλιστής, κατέχει μία επιπλέον πληροφορία η οποία είναι κρυμμένη από τον αντασφαλιστή. Υιοθετώντας την προαναφερόμενη προσέγγιση, είμαστε σε θέση να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της αναμενόμενης ωφελιμότητας του τελικού πλούτου, και για τους δύο παίκτες, λαμβάνοντας ρητώς υπόψην τα διαφορετικά σύνολα πληροφόρησής τους. Τέλος, παρέχουμε μία αριθμητική μελέτη του αποτελέσματος της εσωτερικής πληροφόρησης πάνω στις βέλτιστες αποφάσεις του ασφαλιστή.Ο σκοπός του δεύτερου μέρους είναι η μελέτη ενός ανθεκτικού-εντροπικού προβλήματος στοχαστικού ελέγχου μεταξύ ενός ασφαλιστή και της Φύσης. Ωστόσο παρουσιάζεται ένα σημαντικό εμπόδιο, μιας και η τιμή του προβλήματος αυτού είναι συσχετισμένη με μία ισχυρά μη γραμμική στοχαστική μερική διαφορική εξίσωση η οποία δεν επιδέχεται ομαλές λύσεις. Για να ξεπεράσουμε αυτή τη δυσκολία γράφουμε το γενικό αυτό πρόβλημα σαν ένα κανονικής μορφής μηδενικού αθροίσματος στοχαστικό διαφορικό παίγνιο με δύο παίκτες και καταφεύγουμε στη θεωρία που θεμελιώθηκε από τους Fleming και Souganidis με σκοπό να δείξουμε ότι η σχετιζόμενη με το παίγνιο μερική διαφορική εξίσωση Bellman-Isaacs επιδέχεται μοναδική ασθενή λύση, η οποία είναι και η Nash τιμή του προβλήματος. Επιπλέον, διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε ένα γενικό θεώρημα επαλήθευσης το οποίο μας επιτρέπει να χαρακτηρίσουμε τις βέλτιστες στρατηγικές των παικτών. Τέλος, παρέχουμε τη σύνδεση του ανθεκτικού-εντροπικού προβλήματος ελέγχου με τη θεωρία των κυρτών μέτρων κινδύνου και κλείνουμε με την μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς της προαναφερθείσας Bellman-Isaacs εξίσωσης.

Download Full-text