Ο φορμαλισμός των ολοκληρωμάτων διαδρομής του Feynman είναι ένα από τα ισχυρότερα εργαλεία για την κατανόηση των ιδιοτήτων κβαντικών συστημάτων μέσω κλασικών υπολογισμών. Όντας κατάλληλη για ημικλασσικές προσεγγίσεις, η θεωρία των ολοκληρωμάτων διαδρομής προσφέρει μία μεγάλη πληθώρα αναλυτικών μεθόδων για την μελέτη της δυναμικής κβαντικών συσχετισμών, σε κλειστά και ανοικτά κβαντικά συστήματα. Η επέκταση των ολοκληρωμάτων αυτών στο μιγαδικό επίπεδο C, μέσω των Glauber συνοχικών καταστάσεων, στο μιγαδικό μη-επίπεδο πολύπτυγμα C ̅ μέσω των su(2) συνοχικών καταστάσεων, και σε φερμιονικά συστήματα, μέσω των φερμιονικών συνοχικών καταστάσεων, επέτρεψε την εφαρμογή των μεθόδων ολοκληρωμάτων διαδρομής στη μελέτη συστημάτων πολλών σωμάτων. Τα συστήματα αυτά είναι μείζονος σημασίας τόσο για τη Φυσική Στερεάς Κατάστασης όσο και για την επιστήμη Κβαντικής Πληροφόριας, καθώς επιτρέπουν την ύπαρξη εναγγαλισμένων καταστάσεων. Οι συσχετισμοί τέτοιων καταστάσεων έχουν καθαρά κβαντικό χαρακτήρα, καθώς δεν έχουν κλασικό ανάλογο, και μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο για την κατανόηση κβαντικών αλλαγών φάσης όσο και ως το βασικό εργαλείο για την επεξεργασία κβαντικής πληροφορίας. Τα τελευταία χρόνια έχει υπάρξει σημαντική πρόοδος στη μελέτη των στατικών ιδιοτήτων και της δυναμικής κλειστών συστημάτων πολλών σωμάτων, σε πειραματικό αλλά και θεωρητικό επίπεδο. Παρά αυτής της προόδου, η χρήση τεχνικών ολοκληρωμάτων διαδρομής στις αντίστοιχες αναλύσεις είναι σχετικά περιορισμένη. Ο κύριος λόγος για τον οποίο συμβαίνει αυτό είναι ότι, προς το παρόν, δεν υπάρχει κοινά αποδεκτός τρόπος για τον ορισμό της συναρτησιακής ολοκλήρωσης σε μιγαδικούς χώρους οι οποίοι καλύπτονται από συνοχικές καταστάσεις, για γενικά συστήματα που εκφράζονται από μποζονικούς, σπιν ή φερμιονικούς τελεστές. Απουσία εννοιολογικών και δομικών προβλημάτων, τα ολοκληρώματα διαδρομής συνοχικών καταστάσεων μπορούν να προσφέρουν ποικιλία τεχνικών, αναλυτικών και αριθμητικών, για την ανάλυση κλειστών και ανοικτών συστημάτων. Στην παρούσα διατριβή γίνεται ένα βήμα προς αυτήν την κατεύθυνση, καθώς ο κύριος στόχος είναι η κατασκευή μίας σειράς από μαθηματικά συνεπείς μεθόδους κατασκευής τέτοιων ολοκληρωμάτων για τη μελέτη μποζονικών, σπιν και φερμιονικών συστημάτων. Επιπροσθέτως, οι μέθοδοι αυτές γενικέυονται για τη μελέτη οδηγούμενων, αλλά και ανοικτών κβαντικών συστημάτων. Οι τεχνικές που θα χρησιμοποιηθούν για να επιτευχθεί αυτό διαφέρουν σημαντικά για τις περιπτώσεις μποζονικών/σπιν και φερμιονικών συνοχικών καταστάσεων. Στις πρώτες δύο περιπτώσεις, μια συλλογή από μαθηματικά εργαλεία προερχόμενα από τον τομέα της γεωμετρικής κβάντωσης θα είναι απαραίτητα, καθώς τα ολοκληρώματα διαδρομής μποζονικών και σπιν συνοχικών καταστάσεων μπορούν να ερμηνευτούν ως ολοκληρώματα διαδρομής φασικού χώρου πάνω σε Kahler πολυπτύγματα. Παρόλο που η θεωρία της κβάντωσης πάνω σε συμπλεκτικά πολυπτύγματα είναι ένα πολύ μαθηματικά εκτεταμμένο θέμα, γίνεται προφανές ότι η χρήση συγκεκριμμένων αποτελεσμάτων, όχι μόνο επιτρέπει τη λύση των προβλημάτων που αντιμετωπίζουν τα ολοκληρώματα διαδρομής συνοχικών καταστάσεων με μποζονικές μεταβλητές, αλλά και προσφέρει σαφήνεια σε διφορούμενα θέματα προερχόμενα από τον τομέα της Kahler κβάντωσης. Πιο συγκεκριμένα, η προτεινόμενη μεθοδολογία επιτρέπει την πρώτη μαθηματικά αυστηρή απάντηση στο ερώτημα σχετικά με την αναγκαιότητα της μεταπλεκτικής διόρθωσης. Αυτό επιτυγχάνεται με τη κατασκευή μίας απεικόνισης που απο-κβαντώνει κβαντικούς τελεστές, προσφέροντας τις κατάλληλες κλασικές Χαμιλτονιανές συναρτήσεις, για χρήση στην αντίστοιχη ολοκλήρωση διαδρομής. Η προαναφερθείσα απο-κβάντωση επιτυγχάνεται για τους γεννήτορες της άλγεβρας τόσο μποζονικών όσο και σπιν συστημάτων, μέσω της αντιστροφής της διαδικασίας της γεωμετρικής κβάντωσης. Καθώς η υπόθεση οι κυματοσυναρτήσεις να περιέχουν ή όχι διορθώσεις ημι-μορφών, επηρεάζει με μη τετριμμένο τρόπο την αντιστοιχία αυτή τελεστών-συναρτήσεων, τα Χαμιλτονιανά σύμβολα που προκύπτουν οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η σωστή ερμηνεία του συνεχούς ορίου χρειάζεται απαραίτητα την μεταπλεκτική διόρθωση. Με αυτόν τον τρόπο, ως τελικό αποτέλεσμα προσφέρεται μία πολύ απλή απεικόνιση που υπό συγκεκριμένες αλλά καλώς τεκμηρειωμένες φυσικές συνθήκες προσφέρει το σωστό συνεχές όριο για κβαντικά συστήματα που εκφράζονται από τελεστές πρώτης τάξης ως προς τους γεννήτορες των αλγεβρών. Καθώς τα αποτελέσματα αυτά οδηγούν σε καλώς ορισμένα συναρτησιακά ολοκληρώματα, που επιδέχονται αλγεβρική επεξεργασία, είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν για την κατανόηση ανώτερων τάξεων και πολυωνύμων τελεστών, καθώς και για την μελέτη αλληλεπιδράσεων. Η μελέτη τέτοιων περιπτώσεων γίνεται για συγκεκριμένες κλασεις τελεστών, ενώ προτείνονται πιθανοί τρόποι επέκτασης των αποτελεσμάτων. Η περίπτωση φερμιονικών ολοκληρωμάτων διαδρομής συνοχικών καταστάσεων δεν είναι δυνατό να μελετηθεί με τέτοιο τρόπο όμως, καθώς τα φερμιόνια δεν επιδέχονται τέτοιο τύπου συμπλεκτική δομή, με αποτέλεσμα να είναι απαραίτητη η χρήση μίας ριζικά διαφορετικής διαδικασίας. Η κατασκευή μίας τέτοιας διαδικασίας είναι δυνατή με της χρήση κάποιων πρόσφατων αποτελεσμάτων σχετικά με την συνεπή κβάντωση ολοκληρωμάτων διαδρομής Majorana φερμιονικών συστημάτων. Μέσω αυτών των αποτελεσμάτων προτείνεται μία μέθοδος, η οποία οδηγεί σε καλώς ορισμένες δράσεις, κατάλληλες για χρήση σε ολοκληρώματα διαδρομής μιγαδικών φερμιονίων, τα οποία ταυτίζονται με τα ολοκληρώματα διαδρομής φερμιονικών συνοχικών καταστάσεων. Η κατασκευή αυτή στη συνέχεια χρησιμοποιείται για τη μελέτη του μονοδιάστατου XY μοντέλου αλυσίδας σπιν, επιτρέποντας τον πολύ απλό υπολογισμό μίας σειράς γνωστών και μη τετριμμένων αποτελεσμάτων για συναρτήσεις συσχετισμού, που δρουν ως έλεγχος σχετικά με την εγκυρότητα της μεθόδου. Κατά την προαναφερθείσα μελέτη, το πρόβλημα αναγνώρισης του σωστού συνεχούς ορίου αναγνωρίστηκε και επιλύθηκε ακόμα και για την περίπτωση συναρτήσεων συσχετισμού, καθώς αποδείχθηκε ότι η αναγνώριση των κατάλληλων συναρτησιακών παραγωγίσεων της γεννήτριας συνάρτησης δεν είναι πάντα η τετριμμένη. Με την καλώς ορισμένη αυτή μέθοδο στη συνέχεια αναπτύχθηκε μία γενικευμένη μέθοδος για τη μελέτη γενικών φερμιονικών και σπιν-1/2 συστημάτων, με ή και χωρίς χρονοεξαρτώμενους συντελεστές. Για την τελευταία περίπτωση, η προαναφερθείσα μέθοδος αναπτύχθηκε στα πλαίσια της θεωρίας δυναμικής εκτός ισορροπίας, όπου κατασκευάστηκε το κατάλληλο ολοκλήρωμα διαδρομής ως προς την Schwinger-Keldysh χρονική διαδρομή. Η μελέτη αυτή οδήγησε σε σημαντικά αποτελέσματα σχετικά με τη συμπεριφορά του συστήματος της μονοδιάστατης ΧΥ αλυσίδας καθώς διέρχεται από το κρίσιμο σημείο, ενώ επιβεβαιώθηκε ο Kibble-Zurek μηχανισμός. Και οι δύο προτεινόμενες λύσεις διαφέρουν από τις υπάρχουσες, καθώς οι γνωστές μέθοδοι είτε εξαρτώνται από τη διακριτή δομή είτε είναι υπερβολικά έμμεσες. Οι μέθοδοι αυτές στη συνέχεια εφαρμόζονται για την μελέτη ανοικτών μποζονικών και φερμιονικών κβαντικών συστημάτων μέσω ολοκληρωμάτων διαδρομής συνοχικών καταστάσεων. Στα πλαίσια αυτής της μελέτης προτείνεται ένα συστηματικός και συνεπής τρόπος για την κατασκευή τέτοιων ολοκληρωμάτων παρουσία σύνθετων συστημάτων, ενώ έμφαση δίνεται στη μελέτη συστημάτων εμβαπτισμένων σε κβαντικό θερμικό λουτρό. Η δομές που κατασκευάζονται εφαρμόζονται στο όριο της Μαρκοβιανής προσέγγισης, η οποία επιτρέπει την πιο άμεση κατανόηση της φυσικής της μεθόδου, ενώ ως παράδειγμα παρουσιάζεται η μελέτη της χρονικής εξέλιξης συναρτήσεων συσχετισμού για τα συστήματα του μποζονικού και του φερμιονικού απλού αρμονικού ταλαντωτή, οδηγώντας σε πλήρη αντιστοιχία με τα γνωστά αποτελέσματα.
Nonequilibrium non-Markovian steady states in open quantum many-body systems: Persistent oscillations in Heisenberg quantum spin chains