Optimal quadrature formulas with derivative for Hadamard type singular integrals

In the present paper the problem of construction of optimal quadrature formulas in the sense of Sard in the space L2(m)(0,1) is considered. Here the quadrature sum consists of values of the integrand at nodes and values of the first and the third derivatives of the integrand at the end points of the integration interval. The coefficients of optimal quadrature formulas are found and the norm of the optimal error functional is calculated for arbitrary natural number N ≥ m-3 and for any m ≥ 4 using S. L. Sobolev method which is based on the discrete analogue of the differential operator d2m/dx2m. In particular, for m = 4 and m = 5 optimality of the classical Euler-Maclaurin quadrature formula is obtained. Starting from m=6 new optimal quadrature formulas are obtained. At the end of this work some numerical results are presented. В настоящей статье рассматривается задача построения оптимальных квадратурных формул в смысле Сарда в пространстве L2(m)(0,1). Здесь квадратурная сумма состоить из значений подынтегральной функции в узлах и значений первой и третьей производных подынтегральной функции на концах интервала интегрирования. Найдены коэффициенты оптимальных квадратурных формул и вычислена норма оптимального функционала погрешности для любого натурального числа N ≥ m-3 и для любого m ≥ 4, используя метод С. Л. Соболева который основывается на дискретный аналог дифференциального оператора d2m/dx2m. В частности, при m = 4 и m = 5 получен оптимальность классической формулы Эйлера-Маклорена. Начиная с m = 6 получены новые оптимальные квадратурные формулы. В конце работы приведаны некоторые численные результаты.

Download Full-text

An optimal quadrature formula in the Sobolev space

Uzbek Mathematical Journal ◽

10.29229/uzmj.2021-3-5 ◽

2021 ◽

Vol 65 (3) ◽

pp. 46-59

Keyword(s):

Sobolev Space ◽

Quadrature Formula ◽

Approximate Calculation ◽

Order Of Convergence ◽

Quadrature Formulas ◽

Explicit Formulas ◽

Optimal Quadrature Formula ◽

Optimal Quadrature ◽

Optimal Coefficients ◽

Optimal Quadrature Formulas

This paper studies the problem of construction of optimal quadrature formulas for approximate calculation of integrals with trigonometric weight in the L(2m)(0, 1) space for any ω ൐= 0, ω ∈ R. Here explicit formulas for the optimal coeﬃcients are obtained. We study the order of convergence of the optimal formulas for the case m = 1, 2. The obtained optimal quadrature formulas are exact for Pm−1(x), where Pm−1(x) is a polynomial of degree (m − 1).

Download Full-text